Rezolvați 10y^2+19y+6

$$10 { y }^{ 2 } +19y+6$$

Descompunere în factori

$$\left(2y+3\right)\left(5y+2\right)$$

Pașii soluției

Descompuneți expresia în factori prin grupare. Mai întâi, expresia trebuie să fie rescrisă ca 10y^{2}+ay+by+6. Pentru a găsi a și b, configurați un sistem pentru a fi rezolvat.

$$a+b=19 ab=10\times 6=60$$

Deoarece ab este pozitiv, a și b au același semn. Deoarece a+b este pozitiv, a și b sunt ambele pozitive. Listează toate perechi de valori întregi care oferă produse 60.

$$1,60 2,30 3,20 4,15 5,12 6,10$$

Calculați suma pentru fiecare pereche.

$$1+60=61 2+30=32 3+20=23 4+15=19 5+12=17 6+10=16$$

Soluția este perechea care dă suma de 19.

$$a=4 b=15$$

Rescrieți 10y^{2}+19y+6 ca \left(10y^{2}+4y\right)+\left(15y+6\right).

$$\left(10y^{2}+4y\right)+\left(15y+6\right)$$

Factor 2y în primul și 3 în al doilea grup.

$$2y\left(5y+2\right)+3\left(5y+2\right)$$

Scoateți termenul comun 5y+2 prin utilizarea proprietății de distributivitate.

$$\left(5y+2\right)\left(2y+3\right)$$

Pași folosind formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea

Polinomul de gradul doi se poate descompune în factori folosind transformarea ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), unde x_{1} și x_{2} sunt soluțiile ecuației de gradul doi ax^{2}+bx+c=0.

$$10y^{2}+19y+6=0$$

Toate ecuațiile de forma ax^{2}+bx+c=0 pot fi rezolvate utilizând formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea oferă două soluții, una atunci când operația ± este de adunare și una atunci când este de scădere.

$$y=\frac{-19±\sqrt{19^{2}-4\times 10\times 6}}{2\times 10}$$

Ridicați 19 la pătrat.

$$y=\frac{-19±\sqrt{361-4\times 10\times 6}}{2\times 10}$$

Înmulțiți -4 cu 10.

$$y=\frac{-19±\sqrt{361-40\times 6}}{2\times 10}$$

Înmulțiți -40 cu 6.

$$y=\frac{-19±\sqrt{361-240}}{2\times 10}$$

Adunați 361 cu -240.

$$y=\frac{-19±\sqrt{121}}{2\times 10}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru 121.

$$y=\frac{-19±11}{2\times 10}$$

Înmulțiți 2 cu 10.

$$y=\frac{-19±11}{20}$$

Acum rezolvați ecuația y=\frac{-19±11}{20} atunci când ± este plus. Adunați -19 cu 11.

$$y=-\frac{8}{20}$$

Reduceți fracția \frac{-8}{20} la cei mai mici termeni, prin extragerea și reducerea 4.

$$y=-\frac{2}{5}$$

Acum rezolvați ecuația y=\frac{-19±11}{20} atunci când ± este minus. Scădeți 11 din -19.

$$y=-\frac{30}{20}$$

Reduceți fracția \frac{-30}{20} la cei mai mici termeni, prin extragerea și reducerea 10.

$$y=-\frac{3}{2}$$

Descompuneți în factori expresia inițială utilizând ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right). Înlocuiți x_{1} cu -\frac{2}{5} și x_{2} cu -\frac{3}{2}.

$$10y^{2}+19y+6=10\left(y-\left(-\frac{2}{5}\right)\right)\left(y-\left(-\frac{3}{2}\right)\right)$$

Simplificați toate expresiile formei p-\left(-q\right) la p+q.

$$10y^{2}+19y+6=10\left(y+\frac{2}{5}\right)\left(y+\frac{3}{2}\right)$$

Adunați \frac{2}{5} cu y găsind un numitor comun și adunând numărătorii. Apoi simplificați fracția până devine ireductibilă, dacă este posibil.

$$10y^{2}+19y+6=10\times \frac{5y+2}{5}\left(y+\frac{3}{2}\right)$$

Adunați \frac{3}{2} cu y găsind un numitor comun și adunând numărătorii. Apoi simplificați fracția până devine ireductibilă, dacă este posibil.

$$10y^{2}+19y+6=10\times \frac{5y+2}{5}\times \frac{2y+3}{2}$$

Înmulțiți \frac{5y+2}{5} cu \frac{2y+3}{2} prin înmulțirea valorilor de la numărător și a valorilor de la numitor. Apoi simplificați fracția până devine ireductibilă, dacă este posibil.

$$10y^{2}+19y+6=10\times \frac{\left(5y+2\right)\left(2y+3\right)}{5\times 2}$$

Înmulțiți 5 cu 2.

$$10y^{2}+19y+6=10\times \frac{\left(5y+2\right)\left(2y+3\right)}{10}$$

Simplificați cu 10, cel mai mare factor comun din 10 și 10.

$$10y^{2}+19y+6=\left(5y+2\right)\left(2y+3\right)$$

Evaluați

$$\left(2y+3\right)\left(5y+2\right)$$