Rezolvați 10x^2+10x+8=3x^2-10x+11

$$10 { x }^{ 2 } +10x+8=3 { x }^{ 2 } -10x+11$$

Rezolvați pentru x

$$x=-3$$

$$x=\frac{1}{7}\approx 0.142857143$$

Pași utilizând descompunerea în factori prin grupare

Scădeți 3x^{2} din ambele părți.

$$10x^{2}+10x+8-3x^{2}=-10x+11$$

Combinați 10x^{2} cu -3x^{2} pentru a obține 7x^{2}.

$$7x^{2}+10x+8=-10x+11$$

Adăugați 10x la ambele părți.

$$7x^{2}+10x+8+10x=11$$

Combinați 10x cu 10x pentru a obține 20x.

$$7x^{2}+20x+8=11$$

Scădeți 11 din ambele părți.

$$7x^{2}+20x+8-11=0$$

Scădeți 11 din 8 pentru a obține -3.

$$7x^{2}+20x-3=0$$

Pentru a rezolva ecuația, descompuneți în factori partea stângă prin grupare. În primul rând, partea stângă trebuie să fie rescrisă ca 7x^{2}+ax+bx-3. Pentru a găsi a și b, configurați un sistem care să fie rezolvat.

$$a+b=20 ab=7\left(-3\right)=-21$$

Deoarece ab este negativ, a și b au semne opuse. Deoarece a+b este pozitiv, numărul pozitiv are o valoare absolută mai mare decât negativul. Enumerați toate perechile întregi care oferă -21 de produs.

$$-1,21 -3,7$$

Calculați suma pentru fiecare pereche.

$$-1+21=20 -3+7=4$$

Soluția este perechea care dă suma de 20.

$$a=-1 b=21$$

Rescrieți 7x^{2}+20x-3 ca \left(7x^{2}-x\right)+\left(21x-3\right).

$$\left(7x^{2}-x\right)+\left(21x-3\right)$$

Scoateți scoateți factorul x din primul și 3 din cel de-al doilea grup.

$$x\left(7x-1\right)+3\left(7x-1\right)$$

Scoateți termenul comun 7x-1 prin utilizarea proprietății de distributivitate.

$$\left(7x-1\right)\left(x+3\right)$$

Pentru a găsi soluții de ecuație, rezolvați 7x-1=0 și x+3=0.

$$x=\frac{1}{7} x=-3$$

Pași folosind formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea

Scădeți 3x^{2} din ambele părți.

$$10x^{2}+10x+8-3x^{2}=-10x+11$$

Combinați 10x^{2} cu -3x^{2} pentru a obține 7x^{2}.

$$7x^{2}+10x+8=-10x+11$$

Adăugați 10x la ambele părți.

$$7x^{2}+10x+8+10x=11$$

Combinați 10x cu 10x pentru a obține 20x.

$$7x^{2}+20x+8=11$$

Scădeți 11 din ambele părți.

$$7x^{2}+20x+8-11=0$$

Scădeți 11 din 8 pentru a obține -3.

$$7x^{2}+20x-3=0$$

Această ecuație este în formă standard: ax^{2}+bx+c=0. Înlocuiți a cu 7, b cu 20 și c cu -3 în formula rădăcinilor ecuațiilor de gradul al doilea, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-20±\sqrt{20^{2}-4\times 7\left(-3\right)}}{2\times 7}$$

Ridicați 20 la pătrat.

$$x=\frac{-20±\sqrt{400-4\times 7\left(-3\right)}}{2\times 7}$$

Înmulțiți -4 cu 7.

$$x=\frac{-20±\sqrt{400-28\left(-3\right)}}{2\times 7}$$

Înmulțiți -28 cu -3.

$$x=\frac{-20±\sqrt{400+84}}{2\times 7}$$

Adunați 400 cu 84.

$$x=\frac{-20±\sqrt{484}}{2\times 7}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru 484.

$$x=\frac{-20±22}{2\times 7}$$

Înmulțiți 2 cu 7.

$$x=\frac{-20±22}{14}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{-20±22}{14} atunci când ± este plus. Adunați -20 cu 22.

$$x=\frac{2}{14}$$

Reduceți fracția \frac{2}{14} la cei mai mici termeni, prin extragerea și reducerea 2.

$$x=\frac{1}{7}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{-20±22}{14} atunci când ± este minus. Scădeți 22 din -20.

$$x=-\frac{42}{14}$$

Împărțiți -42 la 14.

$$x=-3$$

Ecuația este rezolvată acum.

$$x=\frac{1}{7} x=-3$$

Pași pentru completarea pătratului

Scădeți 3x^{2} din ambele părți.

$$10x^{2}+10x+8-3x^{2}=-10x+11$$

Combinați 10x^{2} cu -3x^{2} pentru a obține 7x^{2}.

$$7x^{2}+10x+8=-10x+11$$

Adăugați 10x la ambele părți.

$$7x^{2}+10x+8+10x=11$$

Combinați 10x cu 10x pentru a obține 20x.

$$7x^{2}+20x+8=11$$

Scădeți 8 din ambele părți.

$$7x^{2}+20x=11-8$$

Scădeți 8 din 11 pentru a obține 3.

$$7x^{2}+20x=3$$

Se împart ambele părți la 7.

$$\frac{7x^{2}+20x}{7}=\frac{3}{7}$$

Împărțirea la 7 anulează înmulțirea cu 7.

$$x^{2}+\frac{20}{7}x=\frac{3}{7}$$

Împărțiți \frac{20}{7}, coeficientul termenului x, la 2 pentru a obține \frac{10}{7}. Apoi, adunați pătratul lui \frac{10}{7} la ambele părți ale ecuației. Acest pas face din partea stângă a ecuației un pătrat perfect.

$$x^{2}+\frac{20}{7}x+\left(\frac{10}{7}\right)^{2}=\frac{3}{7}+\left(\frac{10}{7}\right)^{2}$$

Ridicați \frac{10}{7} la pătrat, calculând pătratul pentru numărătorul și numitorul fracției.

$$x^{2}+\frac{20}{7}x+\frac{100}{49}=\frac{3}{7}+\frac{100}{49}$$

Adunați \frac{3}{7} cu \frac{100}{49} găsind un numitor comun și adunând numărătorii. Apoi simplificați fracția până devine ireductibilă, dacă este posibil.

$$x^{2}+\frac{20}{7}x+\frac{100}{49}=\frac{121}{49}$$

Factorul x^{2}+\frac{20}{7}x+\frac{100}{49}. În general, când x^{2}+bx+c este un pătrat perfect, acesta poate fi descompus întotdeauna în factori ca \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{10}{7}\right)^{2}=\frac{121}{49}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru ambele părți ale ecuației.

$$\sqrt{\left(x+\frac{10}{7}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{121}{49}}$$

Simplificați.

$$x+\frac{10}{7}=\frac{11}{7} x+\frac{10}{7}=-\frac{11}{7}$$

Scădeți \frac{10}{7} din ambele părți ale ecuației.

$$x=\frac{1}{7} x=-3$$