Rezolvați 10^2+x^2=8^2-(12-x)^2

$$10 ^ { 2 } + x ^ { 2 } = 8 ^ { 2 } - ( 12 - x ) ^ { 2 }$$

Rezolvați pentru x (complex solution)

$$x=6+3\sqrt{6}i\approx 6+7,348469228i$$

$$x=-3\sqrt{6}i+6\approx 6-7,348469228i$$

Pași folosind formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea

Calculați 10 la puterea 2 și obțineți 100.

$$100+x^{2}=8^{2}-\left(12-x\right)^{2}$$

Calculați 8 la puterea 2 și obțineți 64.

$$100+x^{2}=64-\left(12-x\right)^{2}$$

Utilizați binomul lui Newton \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} pentru a extinde \left(12-x\right)^{2}.

$$100+x^{2}=64-\left(144-24x+x^{2}\right)$$

Pentru a găsi opusul lui 144-24x+x^{2}, găsiți opusul fiecărui termen.

$$100+x^{2}=64-144+24x-x^{2}$$

Scădeți 144 din 64 pentru a obține -80.

$$100+x^{2}=-80+24x-x^{2}$$

Scădeți -80 din ambele părți.

$$100+x^{2}-\left(-80\right)=24x-x^{2}$$

Opusul lui -80 este 80.

$$100+x^{2}+80=24x-x^{2}$$

Scădeți 24x din ambele părți.

$$100+x^{2}+80-24x=-x^{2}$$

Adunați 100 și 80 pentru a obține 180.

$$180+x^{2}-24x=-x^{2}$$

Adăugați x^{2} la ambele părți.

$$180+x^{2}-24x+x^{2}=0$$

Combinați x^{2} cu x^{2} pentru a obține 2x^{2}.

$$180+2x^{2}-24x=0$$

Toate ecuațiile de forma ax^{2}+bx+c=0 pot fi rezolvate utilizând formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea oferă două soluții, una atunci când operația ± este de adunare și una atunci când este de scădere.

$$2x^{2}-24x+180=0$$

Această ecuație este în formă standard: ax^{2}+bx+c=0. Înlocuiți a cu 2, b cu -24 și c cu 180 în formula rădăcinilor ecuațiilor de gradul al doilea, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-24\right)±\sqrt{\left(-24\right)^{2}-4\times 2\times 180}}{2\times 2}$$

Ridicați -24 la pătrat.

$$x=\frac{-\left(-24\right)±\sqrt{576-4\times 2\times 180}}{2\times 2}$$

Înmulțiți -4 cu 2.

$$x=\frac{-\left(-24\right)±\sqrt{576-8\times 180}}{2\times 2}$$

Înmulțiți -8 cu 180.

$$x=\frac{-\left(-24\right)±\sqrt{576-1440}}{2\times 2}$$

Adunați 576 cu -1440.

$$x=\frac{-\left(-24\right)±\sqrt{-864}}{2\times 2}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru -864.

$$x=\frac{-\left(-24\right)±12\sqrt{6}i}{2\times 2}$$

Opusul lui -24 este 24.

$$x=\frac{24±12\sqrt{6}i}{2\times 2}$$

Înmulțiți 2 cu 2.

$$x=\frac{24±12\sqrt{6}i}{4}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{24±12\sqrt{6}i}{4} atunci când ± este plus. Adunați 24 cu 12i\sqrt{6}.

$$x=\frac{24+12\sqrt{6}i}{4}$$

Împărțiți 24+12i\sqrt{6} la 4.

$$x=6+3\sqrt{6}i$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{24±12\sqrt{6}i}{4} atunci când ± este minus. Scădeți 12i\sqrt{6} din 24.

$$x=\frac{-12\sqrt{6}i+24}{4}$$

Împărțiți 24-12i\sqrt{6} la 4.

$$x=-3\sqrt{6}i+6$$

Ecuația este rezolvată acum.

$$x=6+3\sqrt{6}i x=-3\sqrt{6}i+6$$

Pași pentru completarea pătratului

Calculați 10 la puterea 2 și obțineți 100.

$$100+x^{2}=8^{2}-\left(12-x\right)^{2}$$

Calculați 8 la puterea 2 și obțineți 64.

$$100+x^{2}=64-\left(12-x\right)^{2}$$

Utilizați binomul lui Newton \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} pentru a extinde \left(12-x\right)^{2}.

$$100+x^{2}=64-\left(144-24x+x^{2}\right)$$

Pentru a găsi opusul lui 144-24x+x^{2}, găsiți opusul fiecărui termen.

$$100+x^{2}=64-144+24x-x^{2}$$

Scădeți 144 din 64 pentru a obține -80.

$$100+x^{2}=-80+24x-x^{2}$$

Scădeți 24x din ambele părți.

$$100+x^{2}-24x=-80-x^{2}$$

Adăugați x^{2} la ambele părți.

$$100+x^{2}-24x+x^{2}=-80$$

Combinați x^{2} cu x^{2} pentru a obține 2x^{2}.

$$100+2x^{2}-24x=-80$$

Scădeți 100 din ambele părți.

$$2x^{2}-24x=-80-100$$

Scădeți 100 din -80 pentru a obține -180.

$$2x^{2}-24x=-180$$

Se împart ambele părți la 2.

$$\frac{2x^{2}-24x}{2}=-\frac{180}{2}$$

Împărțirea la 2 anulează înmulțirea cu 2.

$$x^{2}+\left(-\frac{24}{2}\right)x=-\frac{180}{2}$$

Împărțiți -24 la 2.

$$x^{2}-12x=-\frac{180}{2}$$

Împărțiți -180 la 2.

$$x^{2}-12x=-90$$

Împărțiți -12, coeficientul termenului x, la 2 pentru a obține -6. Apoi, adunați pătratul lui -6 la ambele părți ale ecuației. Acest pas face din partea stângă a ecuației un pătrat perfect.

$$x^{2}-12x+\left(-6\right)^{2}=-90+\left(-6\right)^{2}$$

Ridicați -6 la pătrat.

$$x^{2}-12x+36=-90+36$$

Adunați -90 cu 36.

$$x^{2}-12x+36=-54$$

Factor x^{2}-12x+36. În general, atunci când x^{2}+bx+c este un pătrat perfect, el poate fi descompus în factori oricând ca \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-6\right)^{2}=-54$$

Aflați rădăcina pătrată pentru ambele părți ale ecuației.

$$\sqrt{\left(x-6\right)^{2}}=\sqrt{-54}$$

Simplificați.

$$x-6=3\sqrt{6}i x-6=-3\sqrt{6}i$$

Adunați 6 la ambele părți ale ecuației.

$$x=6+3\sqrt{6}i x=-3\sqrt{6}i+6$$