Rezolvați 10=5t+5t^2

$$10 = 5 t + 5 t ^ { 2 }$$

Rezolvați pentru t

$$t=-2$$

$$t=1$$

Pași utilizând descompunerea în factori prin grupare

Interschimbați părțile, astfel încât toți termenii variabili să fie pe partea stângă.

$$5t+5t^{2}=10$$

Scădeți 10 din ambele părți.

$$5t+5t^{2}-10=0$$

Se împart ambele părți la 5.

$$t+t^{2}-2=0$$

Rearanjați polinomul pentru a-l pune în formă standard. Plasați termenii în ordine de la cel mai mare la puterea minimă.

$$t^{2}+t-2=0$$

Pentru a rezolva ecuația, factor mâna stângă după grupare. Mai întâi, fața la stânga trebuie să fie rescrisă ca t^{2}+at+bt-2. Pentru a găsi a și b, configurați un sistem pentru a fi rezolvat.

$$a+b=1 ab=1\left(-2\right)=-2$$

Deoarece ab este negativ, a și b au semne opuse. Deoarece a+b este pozitiv, numărul pozitiv are o valoare absolută mai mare decât valoarea negativă. Singura astfel de pereche este soluția de sistem.

$$a=-1 b=2$$

Rescrieți t^{2}+t-2 ca \left(t^{2}-t\right)+\left(2t-2\right).

$$\left(t^{2}-t\right)+\left(2t-2\right)$$

Factor t în primul și 2 în al doilea grup.

$$t\left(t-1\right)+2\left(t-1\right)$$

Scoateți termenul comun t-1 prin utilizarea proprietății de distributivitate.

$$\left(t-1\right)\left(t+2\right)$$

Pentru a găsi soluții de ecuații, rezolvați t-1=0 și t+2=0.

$$t=1 t=-2$$

Pași folosind formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea

Interschimbați părțile, astfel încât toți termenii variabili să fie pe partea stângă.

$$5t+5t^{2}=10$$

Scădeți 10 din ambele părți.

$$5t+5t^{2}-10=0$$

Toate ecuațiile de forma ax^{2}+bx+c=0 pot fi rezolvate utilizând formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea oferă două soluții, una atunci când operația ± este de adunare și una atunci când este de scădere.

$$5t^{2}+5t-10=0$$

Această ecuație este în formă standard: ax^{2}+bx+c=0. Înlocuiți a cu 5, b cu 5 și c cu -10 în formula rădăcinilor ecuațiilor de gradul al doilea, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$t=\frac{-5±\sqrt{5^{2}-4\times 5\left(-10\right)}}{2\times 5}$$

Ridicați 5 la pătrat.

$$t=\frac{-5±\sqrt{25-4\times 5\left(-10\right)}}{2\times 5}$$

Înmulțiți -4 cu 5.

$$t=\frac{-5±\sqrt{25-20\left(-10\right)}}{2\times 5}$$

Înmulțiți -20 cu -10.

$$t=\frac{-5±\sqrt{25+200}}{2\times 5}$$

Adunați 25 cu 200.

$$t=\frac{-5±\sqrt{225}}{2\times 5}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru 225.

$$t=\frac{-5±15}{2\times 5}$$

Înmulțiți 2 cu 5.

$$t=\frac{-5±15}{10}$$

Acum rezolvați ecuația t=\frac{-5±15}{10} atunci când ± este plus. Adunați -5 cu 15.

$$t=\frac{10}{10}$$

Împărțiți 10 la 10.

$$t=1$$

Acum rezolvați ecuația t=\frac{-5±15}{10} atunci când ± este minus. Scădeți 15 din -5.

$$t=-\frac{20}{10}$$

Împărțiți -20 la 10.

$$t=-2$$

Ecuația este rezolvată acum.

$$t=1 t=-2$$

Pași pentru completarea pătratului

Interschimbați părțile, astfel încât toți termenii variabili să fie pe partea stângă.

$$5t+5t^{2}=10$$

Ecuațiile de gradul doi ca aceasta pot fi rezolvate prin completarea pătratului. Pentru a completa pătratul, ecuația trebuie mai întâi să fie sub forma x^{2}+bx=c.

$$5t^{2}+5t=10$$

Se împart ambele părți la 5.

$$\frac{5t^{2}+5t}{5}=\frac{10}{5}$$

Împărțirea la 5 anulează înmulțirea cu 5.

$$t^{2}+\frac{5}{5}t=\frac{10}{5}$$

Împărțiți 5 la 5.

$$t^{2}+t=\frac{10}{5}$$

Împărțiți 10 la 5.

$$t^{2}+t=2$$

Împărțiți 1, coeficientul termenului x, la 2 pentru a obține \frac{1}{2}. Apoi, adunați pătratul lui \frac{1}{2} la ambele părți ale ecuației. Acest pas face din partea stângă a ecuației un pătrat perfect.

$$t^{2}+t+\left(\frac{1}{2}\right)^{2}=2+\left(\frac{1}{2}\right)^{2}$$

Ridicați \frac{1}{2} la pătrat, calculând pătratul pentru numărătorul și numitorul fracției.

$$t^{2}+t+\frac{1}{4}=2+\frac{1}{4}$$

Adunați 2 cu \frac{1}{4}.

$$t^{2}+t+\frac{1}{4}=\frac{9}{4}$$

Factor t^{2}+t+\frac{1}{4}. În general, atunci când x^{2}+bx+c este un pătrat perfect, el poate fi descompus în factori oricând ca \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(t+\frac{1}{2}\right)^{2}=\frac{9}{4}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru ambele părți ale ecuației.

$$\sqrt{\left(t+\frac{1}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{9}{4}}$$

Simplificați.

$$t+\frac{1}{2}=\frac{3}{2} t+\frac{1}{2}=-\frac{3}{2}$$

Scădeți \frac{1}{2} din ambele părți ale ecuației.

$$t=1 t=-2$$