Rezolvați 19x^2+280x=-8100

$$19 x ^ { 2 } + 280 x = - 8100$$

Rezolvați pentru x (complex solution)

$$x=\frac{-140+10\sqrt{1343}i}{19}\approx -7,368421053+19,287876002i$$

$$x=\frac{-10\sqrt{1343}i-140}{19}\approx -7,368421053-19,287876002i$$

Pași folosind formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea

Toate ecuațiile de forma ax^{2}+bx+c=0 pot fi rezolvate utilizând formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea oferă două soluții, una atunci când operația ± este de adunare și una atunci când este de scădere.

$$19x^{2}+280x=-8100$$

Adunați 8100 la ambele părți ale ecuației.

$$19x^{2}+280x-\left(-8100\right)=-8100-\left(-8100\right)$$

Scăderea -8100 din el însuși are ca rezultat 0.

$$19x^{2}+280x-\left(-8100\right)=0$$

Scădeți -8100 din 0.

$$19x^{2}+280x+8100=0$$

Această ecuație este în formă standard: ax^{2}+bx+c=0. Înlocuiți a cu 19, b cu 280 și c cu 8100 în formula rădăcinilor ecuațiilor de gradul al doilea, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-280±\sqrt{280^{2}-4\times 19\times 8100}}{2\times 19}$$

Ridicați 280 la pătrat.

$$x=\frac{-280±\sqrt{78400-4\times 19\times 8100}}{2\times 19}$$

Înmulțiți -4 cu 19.

$$x=\frac{-280±\sqrt{78400-76\times 8100}}{2\times 19}$$

Înmulțiți -76 cu 8100.

$$x=\frac{-280±\sqrt{78400-615600}}{2\times 19}$$

Adunați 78400 cu -615600.

$$x=\frac{-280±\sqrt{-537200}}{2\times 19}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru -537200.

$$x=\frac{-280±20\sqrt{1343}i}{2\times 19}$$

Înmulțiți 2 cu 19.

$$x=\frac{-280±20\sqrt{1343}i}{38}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{-280±20\sqrt{1343}i}{38} atunci când ± este plus. Adunați -280 cu 20i\sqrt{1343}.

$$x=\frac{-280+20\sqrt{1343}i}{38}$$

Împărțiți -280+20i\sqrt{1343} la 38.

$$x=\frac{-140+10\sqrt{1343}i}{19}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{-280±20\sqrt{1343}i}{38} atunci când ± este minus. Scădeți 20i\sqrt{1343} din -280.

$$x=\frac{-20\sqrt{1343}i-280}{38}$$

Împărțiți -280-20i\sqrt{1343} la 38.

$$x=\frac{-10\sqrt{1343}i-140}{19}$$

Ecuația este rezolvată acum.

$$x=\frac{-140+10\sqrt{1343}i}{19} x=\frac{-10\sqrt{1343}i-140}{19}$$

Pași pentru completarea pătratului

Ecuațiile de gradul doi ca aceasta pot fi rezolvate prin completarea pătratului. Pentru a completa pătratul, ecuația trebuie mai întâi să fie sub forma x^{2}+bx=c.

$$19x^{2}+280x=-8100$$

Se împart ambele părți la 19.

$$\frac{19x^{2}+280x}{19}=-\frac{8100}{19}$$

Împărțirea la 19 anulează înmulțirea cu 19.

$$x^{2}+\frac{280}{19}x=-\frac{8100}{19}$$

Împărțiți \frac{280}{19}, coeficientul termenului x, la 2 pentru a obține \frac{140}{19}. Apoi, adunați pătratul lui \frac{140}{19} la ambele părți ale ecuației. Acest pas face din partea stângă a ecuației un pătrat perfect.

$$x^{2}+\frac{280}{19}x+\left(\frac{140}{19}\right)^{2}=-\frac{8100}{19}+\left(\frac{140}{19}\right)^{2}$$

Ridicați \frac{140}{19} la pătrat, calculând pătratul pentru numărătorul și numitorul fracției.

$$x^{2}+\frac{280}{19}x+\frac{19600}{361}=-\frac{8100}{19}+\frac{19600}{361}$$

Adunați -\frac{8100}{19} cu \frac{19600}{361} găsind un numitor comun și adunând numărătorii. Apoi simplificați fracția până devine ireductibilă, dacă este posibil.

$$x^{2}+\frac{280}{19}x+\frac{19600}{361}=-\frac{134300}{361}$$

Factor x^{2}+\frac{280}{19}x+\frac{19600}{361}. În general, atunci când x^{2}+bx+c este un pătrat perfect, el poate fi descompus în factori oricând ca \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{140}{19}\right)^{2}=-\frac{134300}{361}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru ambele părți ale ecuației.

$$\sqrt{\left(x+\frac{140}{19}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{134300}{361}}$$

Simplificați.

$$x+\frac{140}{19}=\frac{10\sqrt{1343}i}{19} x+\frac{140}{19}=-\frac{10\sqrt{1343}i}{19}$$

Scădeți \frac{140}{19} din ambele părți ale ecuației.

$$x=\frac{-140+10\sqrt{1343}i}{19} x=\frac{-10\sqrt{1343}i-140}{19}$$