Rezolvați 1-2x+x^2/2=17

$$1-2x+ \frac{ { x }^{ 2 } }{ 2 } =17$$

Rezolvați pentru x

$$x=-4$$

$$x=8$$

Pași utilizând descompunerea în factori

Înmulțiți ambele părți ale ecuației cu 2.

$$2-4x+x^{2}=34$$

Scădeți 34 din ambele părți.

$$2-4x+x^{2}-34=0$$

Scădeți 34 din 2 pentru a obține -32.

$$-32-4x+x^{2}=0$$

Rearanjați polinomul pentru a-l pune în formă standard. Plasați termenii în ordine de la cel mai mare la puterea minimă.

$$x^{2}-4x-32=0$$

Pentru a rezolva ecuația, factorul x^{2}-4x-32 utilizând formula x^{2}+\left(a+b\right)x+ab=\left(x+a\right)\left(x+b\right). Pentru a găsi a și b, configurați un sistem pentru a fi rezolvat.

$$a+b=-4 ab=-32$$

Deoarece ab este negativ, a și b au semne opuse. Deoarece a+b este negativ, numărul negativ are o valoare absolută mai mare decât valoarea pozitivă. Listează toate perechi de valori întregi care oferă produse -32.

$$1,-32 2,-16 4,-8$$

Calculați suma pentru fiecare pereche.

$$1-32=-31 2-16=-14 4-8=-4$$

Soluția este perechea care dă suma de -4.

$$a=-8 b=4$$

Rescrieți expresia descompusă în factori \left(x+a\right)\left(x+b\right) utilizând valorile obținute.

$$\left(x-8\right)\left(x+4\right)$$

Pentru a găsi soluții de ecuații, rezolvați x-8=0 și x+4=0.

$$x=8 x=-4$$

Pași utilizând descompunerea în factori prin grupare

Înmulțiți ambele părți ale ecuației cu 2.

$$2-4x+x^{2}=34$$

Scădeți 34 din ambele părți.

$$2-4x+x^{2}-34=0$$

Scădeți 34 din 2 pentru a obține -32.

$$-32-4x+x^{2}=0$$

Rearanjați polinomul pentru a-l pune în formă standard. Plasați termenii în ordine de la cel mai mare la puterea minimă.

$$x^{2}-4x-32=0$$

Pentru a rezolva ecuația, factor mâna stângă după grupare. Mai întâi, fața la stânga trebuie să fie rescrisă ca x^{2}+ax+bx-32. Pentru a găsi a și b, configurați un sistem pentru a fi rezolvat.

$$a+b=-4 ab=1\left(-32\right)=-32$$

Deoarece ab este negativ, a și b au semne opuse. Deoarece a+b este negativ, numărul negativ are o valoare absolută mai mare decât valoarea pozitivă. Listează toate perechi de valori întregi care oferă produse -32.

$$1,-32 2,-16 4,-8$$

Calculați suma pentru fiecare pereche.

$$1-32=-31 2-16=-14 4-8=-4$$

Soluția este perechea care dă suma de -4.

$$a=-8 b=4$$

Rescrieți x^{2}-4x-32 ca \left(x^{2}-8x\right)+\left(4x-32\right).

$$\left(x^{2}-8x\right)+\left(4x-32\right)$$

Factor x în primul și 4 în al doilea grup.

$$x\left(x-8\right)+4\left(x-8\right)$$

Scoateți termenul comun x-8 prin utilizarea proprietății de distributivitate.

$$\left(x-8\right)\left(x+4\right)$$

Pentru a găsi soluții de ecuații, rezolvați x-8=0 și x+4=0.

$$x=8 x=-4$$

Pași folosind formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea

Toate ecuațiile de forma ax^{2}+bx+c=0 pot fi rezolvate utilizând formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea oferă două soluții, una atunci când operația ± este de adunare și una atunci când este de scădere.

$$\frac{1}{2}x^{2}-2x+1=17$$

Scădeți 17 din ambele părți ale ecuației.

$$\frac{1}{2}x^{2}-2x+1-17=17-17$$

Scăderea 17 din el însuși are ca rezultat 0.

$$\frac{1}{2}x^{2}-2x+1-17=0$$

Scădeți 17 din 1.

$$\frac{1}{2}x^{2}-2x-16=0$$

Această ecuație este în formă standard: ax^{2}+bx+c=0. Înlocuiți a cu \frac{1}{2}, b cu -2 și c cu -16 în formula rădăcinilor ecuațiilor de gradul al doilea, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{\left(-2\right)^{2}-4\times \frac{1}{2}\left(-16\right)}}{2\times \frac{1}{2}}$$

Ridicați -2 la pătrat.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4-4\times \frac{1}{2}\left(-16\right)}}{2\times \frac{1}{2}}$$

Înmulțiți -4 cu \frac{1}{2}.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4-2\left(-16\right)}}{2\times \frac{1}{2}}$$

Înmulțiți -2 cu -16.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4+32}}{2\times \frac{1}{2}}$$

Adunați 4 cu 32.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{36}}{2\times \frac{1}{2}}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru 36.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±6}{2\times \frac{1}{2}}$$

Opusul lui -2 este 2.

$$x=\frac{2±6}{2\times \frac{1}{2}}$$

Înmulțiți 2 cu \frac{1}{2}.

$$x=\frac{2±6}{1}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{2±6}{1} atunci când ± este plus. Adunați 2 cu 6.

$$x=\frac{8}{1}$$

Împărțiți 8 la 1.

$$x=8$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{2±6}{1} atunci când ± este minus. Scădeți 6 din 2.

$$x=-\frac{4}{1}$$

Împărțiți -4 la 1.

$$x=-4$$

Ecuația este rezolvată acum.

$$x=8 x=-4$$

Pași pentru completarea pătratului

Ecuațiile de gradul doi ca aceasta pot fi rezolvate prin completarea pătratului. Pentru a completa pătratul, ecuația trebuie mai întâi să fie sub forma x^{2}+bx=c.

$$\frac{1}{2}x^{2}-2x+1=17$$

Scădeți 1 din ambele părți ale ecuației.

$$\frac{1}{2}x^{2}-2x+1-1=17-1$$

Scăderea 1 din el însuși are ca rezultat 0.

$$\frac{1}{2}x^{2}-2x=17-1$$

Scădeți 1 din 17.

$$\frac{1}{2}x^{2}-2x=16$$

Se înmulțesc ambele părți cu 2.

$$\frac{\frac{1}{2}x^{2}-2x}{\frac{1}{2}}=\frac{16}{\frac{1}{2}}$$

Împărțirea la \frac{1}{2} anulează înmulțirea cu \frac{1}{2}.

$$x^{2}+\left(-\frac{2}{\frac{1}{2}}\right)x=\frac{16}{\frac{1}{2}}$$

Împărțiți -2 la \frac{1}{2} înmulțind pe -2 cu reciproca lui \frac{1}{2}.

$$x^{2}-4x=\frac{16}{\frac{1}{2}}$$

Împărțiți 16 la \frac{1}{2} înmulțind pe 16 cu reciproca lui \frac{1}{2}.

$$x^{2}-4x=32$$

Împărțiți -4, coeficientul termenului x, la 2 pentru a obține -2. Apoi, adunați pătratul lui -2 la ambele părți ale ecuației. Acest pas face din partea stângă a ecuației un pătrat perfect.

$$x^{2}-4x+\left(-2\right)^{2}=32+\left(-2\right)^{2}$$

Ridicați -2 la pătrat.

$$x^{2}-4x+4=32+4$$

Adunați 32 cu 4.

$$x^{2}-4x+4=36$$

Factor x^{2}-4x+4. În general, atunci când x^{2}+bx+c este un pătrat perfect, el poate fi descompus în factori oricând ca \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-2\right)^{2}=36$$

Aflați rădăcina pătrată pentru ambele părți ale ecuației.

$$\sqrt{\left(x-2\right)^{2}}=\sqrt{36}$$

Simplificați.

$$x-2=6 x-2=-6$$

Adunați 2 la ambele părți ale ecuației.

$$x=8 x=-4$$