Rezolvați 1-5/x-2=x+2/x^2-4

$$1 - \frac { 5 } { x - 2 } = \frac { x + 2 } { x ^ { 2 } - 4 }$$

Rezolvați pentru x

$$x=8$$

Pași utilizând descompunerea în factori

Variabila x nu poate fi egală cu niciuna dintre valorile -2,2, deoarece împărțirea la zero nu este definită. Înmulțiți ambele părți ale ecuației cu \left(x-2\right)\left(x+2\right), cel mai mic multiplu comun al x-2,x^{2}-4.

$$\left(x-2\right)\left(x+2\right)-\left(x+2\right)\times 5=x+2$$

Să luăm \left(x-2\right)\left(x+2\right). Înmulțirea poate fi transformată în diferența pătratelor, folosind regula: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}. Ridicați 2 la pătrat.

$$x^{2}-4-\left(x+2\right)\times 5=x+2$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți x+2 cu 5.

$$x^{2}-4-\left(5x+10\right)=x+2$$

Pentru a găsi opusul lui 5x+10, găsiți opusul fiecărui termen.

$$x^{2}-4-5x-10=x+2$$

Scădeți 10 din -4 pentru a obține -14.

$$x^{2}-14-5x=x+2$$

Scădeți x din ambele părți.

$$x^{2}-14-5x-x=2$$

Combinați -5x cu -x pentru a obține -6x.

$$x^{2}-14-6x=2$$

Scădeți 2 din ambele părți.

$$x^{2}-14-6x-2=0$$

Scădeți 2 din -14 pentru a obține -16.

$$x^{2}-16-6x=0$$

Rearanjați polinomul pentru a-l pune în formă standard. Plasați termenii în ordine de la cel mai mare la puterea minimă.

$$x^{2}-6x-16=0$$

Pentru a rezolva ecuația, factorul x^{2}-6x-16 utilizând formula x^{2}+\left(a+b\right)x+ab=\left(x+a\right)\left(x+b\right). Pentru a găsi a și b, configurați un sistem pentru a fi rezolvat.

$$a+b=-6 ab=-16$$

Deoarece ab este negativ, a și b au semne opuse. Deoarece a+b este negativ, numărul negativ are o valoare absolută mai mare decât valoarea pozitivă. Listează toate perechi de valori întregi care oferă produse -16.

$$1,-16 2,-8 4,-4$$

Calculați suma pentru fiecare pereche.

$$1-16=-15 2-8=-6 4-4=0$$

Soluția este perechea care dă suma de -6.

$$a=-8 b=2$$

Rescrieți expresia descompusă în factori \left(x+a\right)\left(x+b\right) utilizând valorile obținute.

$$\left(x-8\right)\left(x+2\right)$$

Pentru a găsi soluții de ecuații, rezolvați x-8=0 și x+2=0.

$$x=8 x=-2$$

Variabila x nu poate să fie egală cu -2.

$$x=8$$

Pași utilizând descompunerea în factori prin grupare

Variabila x nu poate fi egală cu niciuna dintre valorile -2,2, deoarece împărțirea la zero nu este definită. Înmulțiți ambele părți ale ecuației cu \left(x-2\right)\left(x+2\right), cel mai mic multiplu comun al x-2,x^{2}-4.

$$\left(x-2\right)\left(x+2\right)-\left(x+2\right)\times 5=x+2$$

Să luăm \left(x-2\right)\left(x+2\right). Înmulțirea poate fi transformată în diferența pătratelor, folosind regula: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}. Ridicați 2 la pătrat.

$$x^{2}-4-\left(x+2\right)\times 5=x+2$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți x+2 cu 5.

$$x^{2}-4-\left(5x+10\right)=x+2$$

Pentru a găsi opusul lui 5x+10, găsiți opusul fiecărui termen.

$$x^{2}-4-5x-10=x+2$$

Scădeți 10 din -4 pentru a obține -14.

$$x^{2}-14-5x=x+2$$

Scădeți x din ambele părți.

$$x^{2}-14-5x-x=2$$

Combinați -5x cu -x pentru a obține -6x.

$$x^{2}-14-6x=2$$

Scădeți 2 din ambele părți.

$$x^{2}-14-6x-2=0$$

Scădeți 2 din -14 pentru a obține -16.

$$x^{2}-16-6x=0$$

Rearanjați polinomul pentru a-l pune în formă standard. Plasați termenii în ordine de la cel mai mare la puterea minimă.

$$x^{2}-6x-16=0$$

Pentru a rezolva ecuația, factor mâna stângă după grupare. Mai întâi, fața la stânga trebuie să fie rescrisă ca x^{2}+ax+bx-16. Pentru a găsi a și b, configurați un sistem pentru a fi rezolvat.

$$a+b=-6 ab=1\left(-16\right)=-16$$

Deoarece ab este negativ, a și b au semne opuse. Deoarece a+b este negativ, numărul negativ are o valoare absolută mai mare decât valoarea pozitivă. Listează toate perechi de valori întregi care oferă produse -16.

$$1,-16 2,-8 4,-4$$

Calculați suma pentru fiecare pereche.

$$1-16=-15 2-8=-6 4-4=0$$

Soluția este perechea care dă suma de -6.

$$a=-8 b=2$$

Rescrieți x^{2}-6x-16 ca \left(x^{2}-8x\right)+\left(2x-16\right).

$$\left(x^{2}-8x\right)+\left(2x-16\right)$$

Factor x în primul și 2 în al doilea grup.

$$x\left(x-8\right)+2\left(x-8\right)$$

Scoateți termenul comun x-8 prin utilizarea proprietății de distributivitate.

$$\left(x-8\right)\left(x+2\right)$$

Pentru a găsi soluții de ecuații, rezolvați x-8=0 și x+2=0.

$$x=8 x=-2$$

Variabila x nu poate să fie egală cu -2.

$$x=8$$

Pași folosind formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea

Variabila x nu poate fi egală cu niciuna dintre valorile -2,2, deoarece împărțirea la zero nu este definită. Înmulțiți ambele părți ale ecuației cu \left(x-2\right)\left(x+2\right), cel mai mic multiplu comun al x-2,x^{2}-4.

$$\left(x-2\right)\left(x+2\right)-\left(x+2\right)\times 5=x+2$$

Să luăm \left(x-2\right)\left(x+2\right). Înmulțirea poate fi transformată în diferența pătratelor, folosind regula: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}. Ridicați 2 la pătrat.

$$x^{2}-4-\left(x+2\right)\times 5=x+2$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți x+2 cu 5.

$$x^{2}-4-\left(5x+10\right)=x+2$$

Pentru a găsi opusul lui 5x+10, găsiți opusul fiecărui termen.

$$x^{2}-4-5x-10=x+2$$

Scădeți 10 din -4 pentru a obține -14.

$$x^{2}-14-5x=x+2$$

Scădeți x din ambele părți.

$$x^{2}-14-5x-x=2$$

Combinați -5x cu -x pentru a obține -6x.

$$x^{2}-14-6x=2$$

Scădeți 2 din ambele părți.

$$x^{2}-14-6x-2=0$$

Scădeți 2 din -14 pentru a obține -16.

$$x^{2}-16-6x=0$$

Toate ecuațiile de forma ax^{2}+bx+c=0 pot fi rezolvate utilizând formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea oferă două soluții, una atunci când operația ± este de adunare și una atunci când este de scădere.

$$x^{2}-6x-16=0$$

Această ecuație este în formă standard: ax^{2}+bx+c=0. Înlocuiți a cu 1, b cu -6 și c cu -16 în formula rădăcinilor ecuațiilor de gradul al doilea, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-6\right)±\sqrt{\left(-6\right)^{2}-4\left(-16\right)}}{2}$$

Ridicați -6 la pătrat.

$$x=\frac{-\left(-6\right)±\sqrt{36-4\left(-16\right)}}{2}$$

Înmulțiți -4 cu -16.

$$x=\frac{-\left(-6\right)±\sqrt{36+64}}{2}$$

Adunați 36 cu 64.

$$x=\frac{-\left(-6\right)±\sqrt{100}}{2}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru 100.

$$x=\frac{-\left(-6\right)±10}{2}$$

Opusul lui -6 este 6.

$$x=\frac{6±10}{2}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{6±10}{2} atunci când ± este plus. Adunați 6 cu 10.

$$x=\frac{16}{2}$$

Împărțiți 16 la 2.

$$x=8$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{6±10}{2} atunci când ± este minus. Scădeți 10 din 6.

$$x=-\frac{4}{2}$$

Împărțiți -4 la 2.

$$x=-2$$

Ecuația este rezolvată acum.

$$x=8 x=-2$$

Variabila x nu poate să fie egală cu -2.

$$x=8$$

Pași pentru completarea pătratului

Variabila x nu poate fi egală cu niciuna dintre valorile -2,2, deoarece împărțirea la zero nu este definită. Înmulțiți ambele părți ale ecuației cu \left(x-2\right)\left(x+2\right), cel mai mic multiplu comun al x-2,x^{2}-4.

$$\left(x-2\right)\left(x+2\right)-\left(x+2\right)\times 5=x+2$$

Să luăm \left(x-2\right)\left(x+2\right). Înmulțirea poate fi transformată în diferența pătratelor, folosind regula: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}. Ridicați 2 la pătrat.

$$x^{2}-4-\left(x+2\right)\times 5=x+2$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți x+2 cu 5.

$$x^{2}-4-\left(5x+10\right)=x+2$$

Pentru a găsi opusul lui 5x+10, găsiți opusul fiecărui termen.

$$x^{2}-4-5x-10=x+2$$

Scădeți 10 din -4 pentru a obține -14.

$$x^{2}-14-5x=x+2$$

Scădeți x din ambele părți.

$$x^{2}-14-5x-x=2$$

Combinați -5x cu -x pentru a obține -6x.

$$x^{2}-14-6x=2$$

Adăugați 14 la ambele părți.

$$x^{2}-6x=2+14$$

Adunați 2 și 14 pentru a obține 16.

$$x^{2}-6x=16$$

Împărțiți -6, coeficientul termenului x, la 2 pentru a obține -3. Apoi, adunați pătratul lui -3 la ambele părți ale ecuației. Acest pas face din partea stângă a ecuației un pătrat perfect.

$$x^{2}-6x+\left(-3\right)^{2}=16+\left(-3\right)^{2}$$

Ridicați -3 la pătrat.

$$x^{2}-6x+9=16+9$$

Adunați 16 cu 9.

$$x^{2}-6x+9=25$$

Factor x^{2}-6x+9. În general, atunci când x^{2}+bx+c este un pătrat perfect, el poate fi descompus în factori oricând ca \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-3\right)^{2}=25$$

Aflați rădăcina pătrată pentru ambele părți ale ecuației.

$$\sqrt{\left(x-3\right)^{2}}=\sqrt{25}$$

Simplificați.

$$x-3=5 x-3=-5$$

Adunați 3 la ambele părți ale ecuației.

$$x=8 x=-2$$

Variabila x nu poate să fie egală cu -2.

$$x=8$$