Rezolvați 1(2x-5)^2-09(x+4)^2=0

$$1 ( 2 x - 5 ) ^ { 2 } - 09 ( x + 4 ) ^ { 2 } = 0$$

Rezolvați pentru x

$$x = \frac{5}{2} = 2\frac{1}{2} = 2,5$$

Pași utilizând descompunerea în factori prin grupare

Utilizați binomul lui Newton \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} pentru a extinde \left(2x-5\right)^{2}.

$$1\left(4x^{2}-20x+25\right)-0\times 9\left(x+4\right)^{2}=0$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți 1 cu 4x^{2}-20x+25.

$$4x^{2}-20x+25-0\times 9\left(x+4\right)^{2}=0$$

Înmulțiți 0 cu 9 pentru a obține 0.

$$4x^{2}-20x+25-0\left(x+4\right)^{2}=0$$

Utilizați binomul lui Newton \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} pentru a extinde \left(x+4\right)^{2}.

$$4x^{2}-20x+25-0\left(x^{2}+8x+16\right)=0$$

Orice număr înmulțit cu zero dă zero.

$$4x^{2}-20x+25-0=0$$

Reordonați termenii.

$$4x^{2}-20x+25=0$$

Pentru a rezolva ecuația, factor mâna stângă după grupare. Mai întâi, fața la stânga trebuie să fie rescrisă ca 4x^{2}+ax+bx+25. Pentru a găsi a și b, configurați un sistem pentru a fi rezolvat.

$$a+b=-20 ab=4\times 25=100$$

Deoarece ab este pozitiv, a și b au același semn. Deoarece a+b este negativ, a și b sunt negative. Listează toate perechi de valori întregi care oferă produse 100.

$$-1,-100 -2,-50 -4,-25 -5,-20 -10,-10$$

Calculați suma pentru fiecare pereche.

$$-1-100=-101 -2-50=-52 -4-25=-29 -5-20=-25 -10-10=-20$$

Soluția este perechea care dă suma de -20.

$$a=-10 b=-10$$

Rescrieți 4x^{2}-20x+25 ca \left(4x^{2}-10x\right)+\left(-10x+25\right).

$$\left(4x^{2}-10x\right)+\left(-10x+25\right)$$

Factor 2x în primul și -5 în al doilea grup.

$$2x\left(2x-5\right)-5\left(2x-5\right)$$

Scoateți termenul comun 2x-5 prin utilizarea proprietății de distributivitate.

$$\left(2x-5\right)\left(2x-5\right)$$

Rescrieți ca binom pătrat.

$$\left(2x-5\right)^{2}$$

Pentru a găsi soluția ecuației, rezolvați 2x-5=0.

$$x=\frac{5}{2}$$

Pași folosind formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea

Utilizați binomul lui Newton \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} pentru a extinde \left(2x-5\right)^{2}.

$$1\left(4x^{2}-20x+25\right)-0\times 9\left(x+4\right)^{2}=0$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți 1 cu 4x^{2}-20x+25.

$$4x^{2}-20x+25-0\times 9\left(x+4\right)^{2}=0$$

Înmulțiți 0 cu 9 pentru a obține 0.

$$4x^{2}-20x+25-0\left(x+4\right)^{2}=0$$

Utilizați binomul lui Newton \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} pentru a extinde \left(x+4\right)^{2}.

$$4x^{2}-20x+25-0\left(x^{2}+8x+16\right)=0$$

Orice număr înmulțit cu zero dă zero.

$$4x^{2}-20x+25-0=0$$

Reordonați termenii.

$$4x^{2}-20x+25=0$$

Această ecuație este în formă standard: ax^{2}+bx+c=0. Înlocuiți a cu 4, b cu -20 și c cu 25 în formula rădăcinilor ecuațiilor de gradul al doilea, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-20\right)±\sqrt{\left(-20\right)^{2}-4\times 4\times 25}}{2\times 4}$$

Ridicați -20 la pătrat.

$$x=\frac{-\left(-20\right)±\sqrt{400-4\times 4\times 25}}{2\times 4}$$

Înmulțiți -4 cu 4.

$$x=\frac{-\left(-20\right)±\sqrt{400-16\times 25}}{2\times 4}$$

Înmulțiți -16 cu 25.

$$x=\frac{-\left(-20\right)±\sqrt{400-400}}{2\times 4}$$

Adunați 400 cu -400.

$$x=\frac{-\left(-20\right)±\sqrt{0}}{2\times 4}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru 0.

$$x=-\frac{-20}{2\times 4}$$

Opusul lui -20 este 20.

$$x=\frac{20}{2\times 4}$$

Înmulțiți 2 cu 4.

$$x=\frac{20}{8}$$

Reduceți fracția \frac{20}{8} la cei mai mici termeni, prin extragerea și reducerea 4.

$$x=\frac{5}{2}$$

Pași pentru completarea pătratului

Utilizați binomul lui Newton \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} pentru a extinde \left(2x-5\right)^{2}.

$$1\left(4x^{2}-20x+25\right)-0\times 9\left(x+4\right)^{2}=0$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți 1 cu 4x^{2}-20x+25.

$$4x^{2}-20x+25-0\times 9\left(x+4\right)^{2}=0$$

Înmulțiți 0 cu 9 pentru a obține 0.

$$4x^{2}-20x+25-0\left(x+4\right)^{2}=0$$

Utilizați binomul lui Newton \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} pentru a extinde \left(x+4\right)^{2}.

$$4x^{2}-20x+25-0\left(x^{2}+8x+16\right)=0$$

Orice număr înmulțit cu zero dă zero.

$$4x^{2}-20x+25-0=0$$

Adăugați 0 la ambele părți.

$$4x^{2}-20x+25=0+0$$

Adunați 0 și 0 pentru a obține 0.

$$4x^{2}-20x+25=0$$

Scădeți 25 din ambele părți. Orice se scade din zero dă negativul său.

$$4x^{2}-20x=-25$$

Se împart ambele părți la 4.

$$\frac{4x^{2}-20x}{4}=-\frac{25}{4}$$

Împărțirea la 4 anulează înmulțirea cu 4.

$$x^{2}+\left(-\frac{20}{4}\right)x=-\frac{25}{4}$$

Împărțiți -20 la 4.

$$x^{2}-5x=-\frac{25}{4}$$

Împărțiți -5, coeficientul termenului x, la 2 pentru a obține -\frac{5}{2}. Apoi, adunați pătratul lui -\frac{5}{2} la ambele părți ale ecuației. Acest pas face din partea stângă a ecuației un pătrat perfect.

$$x^{2}-5x+\left(-\frac{5}{2}\right)^{2}=-\frac{25}{4}+\left(-\frac{5}{2}\right)^{2}$$

Ridicați -\frac{5}{2} la pătrat, calculând pătratul pentru numărătorul și numitorul fracției.

$$x^{2}-5x+\frac{25}{4}=\frac{-25+25}{4}$$

Adunați -\frac{25}{4} cu \frac{25}{4} găsind un numitor comun și adunând numărătorii. Apoi simplificați fracția până devine ireductibilă, dacă este posibil.

$$x^{2}-5x+\frac{25}{4}=0$$

Factor x^{2}-5x+\frac{25}{4}. În general, atunci când x^{2}+bx+c este un pătrat perfect, el poate fi descompus în factori oricând ca \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{5}{2}\right)^{2}=0$$

Aflați rădăcina pătrată pentru ambele părți ale ecuației.

$$\sqrt{\left(x-\frac{5}{2}\right)^{2}}=\sqrt{0}$$

Simplificați.

$$x-\frac{5}{2}=0 x-\frac{5}{2}=0$$

Adunați \frac{5}{2} la ambele părți ale ecuației.

$$x=\frac{5}{2} x=\frac{5}{2}$$

Ecuația este rezolvată acum. Soluțiile sunt la fel.

$$x=\frac{5}{2}$$