Rezolvați 18/x^2-4-2/x-2+x/x+2

$$1 \frac { 8 } { x ^ { 2 } - 4 } - \frac { 2 } { x - 2 } + \frac { x } { x + 2 }$$

Evaluați

$$\frac{x-2}{x+2}$$

Pașii soluției scurte

Exprimați 1\times \frac{8}{x^{2}-4} ca fracție unică.

$$\frac{8}{x^{2}-4}-\frac{2}{x-2}+\frac{x}{x+2}$$

Descompuneți în factori x^{2}-4.

$$\frac{8}{\left(x-2\right)\left(x+2\right)}-\frac{2}{x-2}+\frac{x}{x+2}$$

Pentru a adăuga sau a scădea expresii, extindeți-le pentru a face identici numitorii lor. Cel mai mic multiplu comun al lui \left(x-2\right)\left(x+2\right) și x-2 este \left(x-2\right)\left(x+2\right). Înmulțiți \frac{2}{x-2} cu \frac{x+2}{x+2}.

$$\frac{8}{\left(x-2\right)\left(x+2\right)}-\frac{2\left(x+2\right)}{\left(x-2\right)\left(x+2\right)}+\frac{x}{x+2}$$

Deoarece \frac{8}{\left(x-2\right)\left(x+2\right)} și \frac{2\left(x+2\right)}{\left(x-2\right)\left(x+2\right)} au același numitor comun, scădeți-le scăzând numărătorii lor.

$$\frac{8-2\left(x+2\right)}{\left(x-2\right)\left(x+2\right)}+\frac{x}{x+2}$$

Faceți înmulțiri în 8-2\left(x+2\right).

$$\frac{8-2x-4}{\left(x-2\right)\left(x+2\right)}+\frac{x}{x+2}$$

Combinați termeni similari în 8-2x-4.

$$\frac{4-2x}{\left(x-2\right)\left(x+2\right)}+\frac{x}{x+2}$$

Descompuneți în factori expresiile care nu sunt descompuse deja în \frac{4-2x}{\left(x-2\right)\left(x+2\right)}.

$$\frac{2\left(-x+2\right)}{\left(x-2\right)\left(x+2\right)}+\frac{x}{x+2}$$

Extrageți semnul negativ din 2-x.

$$\frac{-2\left(x-2\right)}{\left(x-2\right)\left(x+2\right)}+\frac{x}{x+2}$$

Reduceți prin eliminare x-2 atât în numărător, cât și în numitor.

$$\frac{-2}{x+2}+\frac{x}{x+2}$$

Deoarece \frac{-2}{x+2} și \frac{x}{x+2} au același numitor comun, adunați-le adunând numărătorii lor.

$$\frac{-2+x}{x+2}$$

Calculați derivata în funcție de x

$$\frac{4}{\left(x+2\right)^{2}}$$

Pași folosind regula de derivare pentru cât

Exprimați 1\times \frac{8}{x^{2}-4} ca fracție unică.

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(\frac{8}{x^{2}-4}-\frac{2}{x-2}+\frac{x}{x+2})$$

Descompuneți în factori x^{2}-4.

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(\frac{8}{\left(x-2\right)\left(x+2\right)}-\frac{2}{x-2}+\frac{x}{x+2})$$

Pentru a adăuga sau a scădea expresii, extindeți-le pentru a face identici numitorii lor. Cel mai mic multiplu comun al lui \left(x-2\right)\left(x+2\right) și x-2 este \left(x-2\right)\left(x+2\right). Înmulțiți \frac{2}{x-2} cu \frac{x+2}{x+2}.

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(\frac{8}{\left(x-2\right)\left(x+2\right)}-\frac{2\left(x+2\right)}{\left(x-2\right)\left(x+2\right)}+\frac{x}{x+2})$$

Deoarece \frac{8}{\left(x-2\right)\left(x+2\right)} și \frac{2\left(x+2\right)}{\left(x-2\right)\left(x+2\right)} au același numitor comun, scădeți-le scăzând numărătorii lor.

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(\frac{8-2\left(x+2\right)}{\left(x-2\right)\left(x+2\right)}+\frac{x}{x+2})$$

Faceți înmulțiri în 8-2\left(x+2\right).

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(\frac{8-2x-4}{\left(x-2\right)\left(x+2\right)}+\frac{x}{x+2})$$

Combinați termeni similari în 8-2x-4.

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(\frac{4-2x}{\left(x-2\right)\left(x+2\right)}+\frac{x}{x+2})$$

Descompuneți în factori expresiile care nu sunt descompuse deja în \frac{4-2x}{\left(x-2\right)\left(x+2\right)}.

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(\frac{2\left(-x+2\right)}{\left(x-2\right)\left(x+2\right)}+\frac{x}{x+2})$$

Extrageți semnul negativ din 2-x.

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(\frac{-2\left(x-2\right)}{\left(x-2\right)\left(x+2\right)}+\frac{x}{x+2})$$

Reduceți prin eliminare x-2 atât în numărător, cât și în numitor.

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(\frac{-2}{x+2}+\frac{x}{x+2})$$

Deoarece \frac{-2}{x+2} și \frac{x}{x+2} au același numitor comun, adunați-le adunând numărătorii lor.

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(\frac{-2+x}{x+2})$$

Pentru orice două funcții diferențiabile, derivata câtului celor două funcții este numitorul înmulțit cu derivata numărătorului, minus numărătorul înmulțit cu derivata numitorului, totul împărțit la numitorul la pătrat.

$$\frac{\left(x^{1}+2\right)\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(x^{1}-2)-\left(x^{1}-2\right)\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(x^{1}+2)}{\left(x^{1}+2\right)^{2}}$$

Derivata unui polinom este suma derivatelor termenilor săi. Derivata unui termen constant este 0. Derivata lui ax^{n} este nax^{n-1}.

$$\frac{\left(x^{1}+2\right)x^{1-1}-\left(x^{1}-2\right)x^{1-1}}{\left(x^{1}+2\right)^{2}}$$

Faceți calculele.

$$\frac{\left(x^{1}+2\right)x^{0}-\left(x^{1}-2\right)x^{0}}{\left(x^{1}+2\right)^{2}}$$

Extindeți folosind proprietatea de distributivitate.

$$\frac{x^{1}x^{0}+2x^{0}-\left(x^{1}x^{0}-2x^{0}\right)}{\left(x^{1}+2\right)^{2}}$$

Pentru a înmulți puterile cu aceleași baze, adunați exponenții lor.

$$\frac{x^{1}+2x^{0}-\left(x^{1}-2x^{0}\right)}{\left(x^{1}+2\right)^{2}}$$

Eliminați parantezele inutile.

$$\frac{x^{1}+2x^{0}-x^{1}-\left(-2x^{0}\right)}{\left(x^{1}+2\right)^{2}}$$

Combinați termenii asemenea.

$$\frac{\left(1-1\right)x^{1}+\left(2-\left(-2\right)\right)x^{0}}{\left(x^{1}+2\right)^{2}}$$

Scădeți 1 din 1 și -2 din 2.

$$\frac{4x^{0}}{\left(x^{1}+2\right)^{2}}$$

Pentru orice termen t, t^{1}=t.

$$\frac{4x^{0}}{\left(x+2\right)^{2}}$$

Pentru orice termen t cu excepția lui 0, t^{0}=1.

$$\frac{4\times 1}{\left(x+2\right)^{2}}$$

Pentru orice termen t, t\times 1=t și 1t=t.

$$\frac{4}{\left(x+2\right)^{2}}$$