Rezolvați 1+4sqrt{1-x}=4x

$$1 + 4 \sqrt { 1 - x } = 4 x$$

Rezolvați pentru x

$$x=\frac{3}{4}=0,75$$

Pașii soluției

Scădeți 1 din ambele părți ale ecuației.

$$4\sqrt{1-x}=4x-1$$

Ridicați la pătrat ambele părți ale ecuației.

$$\left(4\sqrt{1-x}\right)^{2}=\left(4x-1\right)^{2}$$

Extindeți \left(4\sqrt{1-x}\right)^{2}.

$$4^{2}\left(\sqrt{1-x}\right)^{2}=\left(4x-1\right)^{2}$$

Calculați 4 la puterea 2 și obțineți 16.

$$16\left(\sqrt{1-x}\right)^{2}=\left(4x-1\right)^{2}$$

Calculați \sqrt{1-x} la puterea 2 și obțineți 1-x.

$$16\left(1-x\right)=\left(4x-1\right)^{2}$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți 16 cu 1-x.

$$16-16x=\left(4x-1\right)^{2}$$

Utilizați binomul lui Newton \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} pentru a extinde \left(4x-1\right)^{2}.

$$16-16x=16x^{2}-8x+1$$

Scădeți 16x^{2} din ambele părți.

$$16-16x-16x^{2}=-8x+1$$

Adăugați 8x la ambele părți.

$$16-16x-16x^{2}+8x=1$$

Combinați -16x cu 8x pentru a obține -8x.

$$16-8x-16x^{2}=1$$

Scădeți 1 din ambele părți.

$$16-8x-16x^{2}-1=0$$

Scădeți 1 din 16 pentru a obține 15.

$$15-8x-16x^{2}=0$$

Rearanjați polinomul pentru a-l pune în formă standard. Plasați termenii în ordine de la cel mai mare la puterea minimă.

$$-16x^{2}-8x+15=0$$

Pentru a rezolva ecuația, factor mâna stângă după grupare. Mai întâi, fața la stânga trebuie să fie rescrisă ca -16x^{2}+ax+bx+15. Pentru a găsi a și b, configurați un sistem pentru a fi rezolvat.

$$a+b=-8 ab=-16\times 15=-240$$

Deoarece ab este negativ, a și b au semne opuse. Deoarece a+b este negativ, numărul negativ are o valoare absolută mai mare decât valoarea pozitivă. Listează toate perechi de valori întregi care oferă produse -240.

$$1,-240 2,-120 3,-80 4,-60 5,-48 6,-40 8,-30 10,-24 12,-20 15,-16$$

Calculați suma pentru fiecare pereche.

$$1-240=-239 2-120=-118 3-80=-77 4-60=-56 5-48=-43 6-40=-34 8-30=-22 10-24=-14 12-20=-8 15-16=-1$$

Soluția este perechea care dă suma de -8.

$$a=12 b=-20$$

Rescrieți -16x^{2}-8x+15 ca \left(-16x^{2}+12x\right)+\left(-20x+15\right).

$$\left(-16x^{2}+12x\right)+\left(-20x+15\right)$$

Factor 4x în primul și 5 în al doilea grup.

$$4x\left(-4x+3\right)+5\left(-4x+3\right)$$

Scoateți termenul comun -4x+3 prin utilizarea proprietății de distributivitate.

$$\left(-4x+3\right)\left(4x+5\right)$$

Pentru a găsi soluții de ecuații, rezolvați -4x+3=0 și 4x+5=0.

$$x=\frac{3}{4} x=-\frac{5}{4}$$

Înlocuiți x cu \frac{3}{4} în ecuația 1+4\sqrt{1-x}=4x.

$$1+4\sqrt{1-\frac{3}{4}}=4\times \frac{3}{4}$$

Simplificați. Valoarea x=\frac{3}{4} corespunde ecuației.

$$3=3$$

Înlocuiți x cu -\frac{5}{4} în ecuația 1+4\sqrt{1-x}=4x.

$$1+4\sqrt{1-\left(-\frac{5}{4}\right)}=4\left(-\frac{5}{4}\right)$$

Simplificați. Valoarea x=-\frac{5}{4} nu respectă ecuația, deoarece partea stângă și a semnului din dreapta au semne opuse.

$$7=-5$$

Ecuația 4\sqrt{1-x}=4x-1 are o soluție unică.

$$x=\frac{3}{4}$$