Rezolvați 1+5x/x+1=5/x^2+x

$$1 + \frac { 5 x } { x + 1 } = \frac { 5 } { x ^ { 2 } + x }$$

Rezolvați pentru x

$$x=\frac{5}{6}\approx 0,833333333$$

Pași utilizând descompunerea în factori prin grupare

Variabila x nu poate fi egală cu niciuna dintre valorile -1,0, deoarece împărțirea la zero nu este definită. Înmulțiți ambele părți ale ecuației cu x\left(x+1\right), cel mai mic multiplu comun al x+1,x^{2}+x.

$$x\left(x+1\right)+x\times 5x=5$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți x cu x+1.

$$x^{2}+x+x\times 5x=5$$

Înmulțiți x cu x pentru a obține x^{2}.

$$x^{2}+x+x^{2}\times 5=5$$

Combinați x^{2} cu x^{2}\times 5 pentru a obține 6x^{2}.

$$6x^{2}+x=5$$

Scădeți 5 din ambele părți.

$$6x^{2}+x-5=0$$

Pentru a rezolva ecuația, descompuneți în factori partea stângă prin grupare. În primul rând, partea stângă trebuie să fie rescrisă ca 6x^{2}+ax+bx-5. Pentru a găsi a și b, configurați un sistem care să fie rezolvat.

$$a+b=1 ab=6\left(-5\right)=-30$$

Deoarece ab este negativ, a și b au semne opuse. Deoarece a+b este pozitiv, numărul pozitiv are o valoare absolută mai mare decât negativul. Enumerați toate perechile întregi care oferă -30 de produs.

$$-1,30 -2,15 -3,10 -5,6$$

Calculați suma pentru fiecare pereche.

$$-1+30=29 -2+15=13 -3+10=7 -5+6=1$$

Soluția este perechea care dă suma de 1.

$$a=-5 b=6$$

Rescrieți 6x^{2}+x-5 ca \left(6x^{2}-5x\right)+\left(6x-5\right).

$$\left(6x^{2}-5x\right)+\left(6x-5\right)$$

Scoateți factorul comun x din 6x^{2}-5x.

$$x\left(6x-5\right)+6x-5$$

Scoateți termenul comun 6x-5 prin utilizarea proprietății de distributivitate.

$$\left(6x-5\right)\left(x+1\right)$$

Pentru a găsi soluții de ecuație, rezolvați 6x-5=0 și x+1=0.

$$x=\frac{5}{6} x=-1$$

Variabila x nu poate să fie egală cu -1.

$$x=\frac{5}{6}$$

Pași folosind formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea

Variabila x nu poate fi egală cu niciuna dintre valorile -1,0, deoarece împărțirea la zero nu este definită. Înmulțiți ambele părți ale ecuației cu x\left(x+1\right), cel mai mic multiplu comun al x+1,x^{2}+x.

$$x\left(x+1\right)+x\times 5x=5$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți x cu x+1.

$$x^{2}+x+x\times 5x=5$$

Înmulțiți x cu x pentru a obține x^{2}.

$$x^{2}+x+x^{2}\times 5=5$$

Combinați x^{2} cu x^{2}\times 5 pentru a obține 6x^{2}.

$$6x^{2}+x=5$$

Scădeți 5 din ambele părți.

$$6x^{2}+x-5=0$$

Această ecuație este în formă standard: ax^{2}+bx+c=0. Înlocuiți a cu 6, b cu 1 și c cu -5 în formula rădăcinilor ecuațiilor de gradul al doilea, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1^{2}-4\times 6\left(-5\right)}}{2\times 6}$$

Ridicați 1 la pătrat.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1-4\times 6\left(-5\right)}}{2\times 6}$$

Înmulțiți -4 cu 6.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1-24\left(-5\right)}}{2\times 6}$$

Înmulțiți -24 cu -5.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1+120}}{2\times 6}$$

Adunați 1 cu 120.

$$x=\frac{-1±\sqrt{121}}{2\times 6}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru 121.

$$x=\frac{-1±11}{2\times 6}$$

Înmulțiți 2 cu 6.

$$x=\frac{-1±11}{12}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{-1±11}{12} atunci când ± este plus. Adunați -1 cu 11.

$$x=\frac{10}{12}$$

Reduceți fracția \frac{10}{12} la cei mai mici termeni, prin extragerea și reducerea 2.

$$x=\frac{5}{6}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{-1±11}{12} atunci când ± este minus. Scădeți 11 din -1.

$$x=-\frac{12}{12}$$

Împărțiți -12 la 12.

$$x=-1$$

Ecuația este rezolvată acum.

$$x=\frac{5}{6} x=-1$$

Variabila x nu poate să fie egală cu -1.

$$x=\frac{5}{6}$$

Pași pentru completarea pătratului

Variabila x nu poate fi egală cu niciuna dintre valorile -1,0, deoarece împărțirea la zero nu este definită. Înmulțiți ambele părți ale ecuației cu x\left(x+1\right), cel mai mic multiplu comun al x+1,x^{2}+x.

$$x\left(x+1\right)+x\times 5x=5$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți x cu x+1.

$$x^{2}+x+x\times 5x=5$$

Înmulțiți x cu x pentru a obține x^{2}.

$$x^{2}+x+x^{2}\times 5=5$$

Combinați x^{2} cu x^{2}\times 5 pentru a obține 6x^{2}.

$$6x^{2}+x=5$$

Se împart ambele părți la 6.

$$\frac{6x^{2}+x}{6}=\frac{5}{6}$$

Împărțirea la 6 anulează înmulțirea cu 6.

$$x^{2}+\frac{1}{6}x=\frac{5}{6}$$

Împărțiți \frac{1}{6}, coeficientul termenului x, la 2 pentru a obține \frac{1}{12}. Apoi, adunați pătratul lui \frac{1}{12} la ambele părți ale ecuației. Acest pas face din partea stângă a ecuației un pătrat perfect.

$$x^{2}+\frac{1}{6}x+\left(\frac{1}{12}\right)^{2}=\frac{5}{6}+\left(\frac{1}{12}\right)^{2}$$

Ridicați \frac{1}{12} la pătrat, calculând pătratul pentru numărătorul și numitorul fracției.

$$x^{2}+\frac{1}{6}x+\frac{1}{144}=\frac{5}{6}+\frac{1}{144}$$

Adunați \frac{5}{6} cu \frac{1}{144} găsind un numitor comun și adunând numărătorii. Apoi simplificați fracția până devine ireductibilă, dacă este posibil.

$$x^{2}+\frac{1}{6}x+\frac{1}{144}=\frac{121}{144}$$

Factorul x^{2}+\frac{1}{6}x+\frac{1}{144}. În general, când x^{2}+bx+c este un pătrat perfect, acesta poate fi descompus întotdeauna în factori ca \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{1}{12}\right)^{2}=\frac{121}{144}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru ambele părți ale ecuației.

$$\sqrt{\left(x+\frac{1}{12}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{121}{144}}$$

Simplificați.

$$x+\frac{1}{12}=\frac{11}{12} x+\frac{1}{12}=-\frac{11}{12}$$

Scădeți \frac{1}{12} din ambele părți ale ecuației.

$$x=\frac{5}{6} x=-1$$

Variabila x nu poate să fie egală cu -1.

$$x=\frac{5}{6}$$