Rezolvați 0=5n^2+1205n-90300

$$0 = 5 n ^ { 2 } + 1205 n - 90300$$

Rezolvați pentru n

$$n=-301$$

$$n=60$$

Pași utilizând descompunerea în factori prin grupare

Interschimbați părțile, astfel încât toți termenii variabili să fie pe partea stângă.

$$5n^{2}+1205n-90300=0$$

Se împart ambele părți la 5.

$$n^{2}+241n-18060=0$$

Pentru a rezolva ecuația, factor mâna stângă după grupare. Mai întâi, fața la stânga trebuie să fie rescrisă ca n^{2}+an+bn-18060. Pentru a găsi a și b, configurați un sistem pentru a fi rezolvat.

$$a+b=241 ab=1\left(-18060\right)=-18060$$

Deoarece ab este negativ, a și b au semne opuse. Deoarece a+b este pozitiv, numărul pozitiv are o valoare absolută mai mare decât valoarea negativă. Listează toate perechi de valori întregi care oferă produse -18060.

$$-1,18060 -2,9030 -3,6020 -4,4515 -5,3612 -6,3010 -7,2580 -10,1806 -12,1505 -14,1290 -15,1204 -20,903 -21,860 -28,645 -30,602 -35,516 -42,430 -43,420 -60,301 -70,258 -84,215 -86,210 -105,172 -129,140$$

Calculați suma pentru fiecare pereche.

$$-1+18060=18059 -2+9030=9028 -3+6020=6017 -4+4515=4511 -5+3612=3607 -6+3010=3004 -7+2580=2573 -10+1806=1796 -12+1505=1493 -14+1290=1276 -15+1204=1189 -20+903=883 -21+860=839 -28+645=617 -30+602=572 -35+516=481 -42+430=388 -43+420=377 -60+301=241 -70+258=188 -84+215=131 -86+210=124 -105+172=67 -129+140=11$$

Soluția este perechea care dă suma de 241.

$$a=-60 b=301$$

Rescrieți n^{2}+241n-18060 ca \left(n^{2}-60n\right)+\left(301n-18060\right).

$$\left(n^{2}-60n\right)+\left(301n-18060\right)$$

Factor n în primul și 301 în al doilea grup.

$$n\left(n-60\right)+301\left(n-60\right)$$

Scoateți termenul comun n-60 prin utilizarea proprietății de distributivitate.

$$\left(n-60\right)\left(n+301\right)$$

Pentru a găsi soluții de ecuații, rezolvați n-60=0 și n+301=0.

$$n=60 n=-301$$

Pași folosind formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea

Interschimbați părțile, astfel încât toți termenii variabili să fie pe partea stângă.

$$5n^{2}+1205n-90300=0$$

Această ecuație este în formă standard: ax^{2}+bx+c=0. Înlocuiți a cu 5, b cu 1205 și c cu -90300 în formula rădăcinilor ecuațiilor de gradul al doilea, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$n=\frac{-1205±\sqrt{1205^{2}-4\times 5\left(-90300\right)}}{2\times 5}$$

Ridicați 1205 la pătrat.

$$n=\frac{-1205±\sqrt{1452025-4\times 5\left(-90300\right)}}{2\times 5}$$

Înmulțiți -4 cu 5.

$$n=\frac{-1205±\sqrt{1452025-20\left(-90300\right)}}{2\times 5}$$

Înmulțiți -20 cu -90300.

$$n=\frac{-1205±\sqrt{1452025+1806000}}{2\times 5}$$

Adunați 1452025 cu 1806000.

$$n=\frac{-1205±\sqrt{3258025}}{2\times 5}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru 3258025.

$$n=\frac{-1205±1805}{2\times 5}$$

Înmulțiți 2 cu 5.

$$n=\frac{-1205±1805}{10}$$

Acum rezolvați ecuația n=\frac{-1205±1805}{10} atunci când ± este plus. Adunați -1205 cu 1805.

$$n=\frac{600}{10}$$

Împărțiți 600 la 10.

$$n=60$$

Acum rezolvați ecuația n=\frac{-1205±1805}{10} atunci când ± este minus. Scădeți 1805 din -1205.

$$n=-\frac{3010}{10}$$

Împărțiți -3010 la 10.

$$n=-301$$

Ecuația este rezolvată acum.

$$n=60 n=-301$$

Pași pentru completarea pătratului

Interschimbați părțile, astfel încât toți termenii variabili să fie pe partea stângă.

$$5n^{2}+1205n-90300=0$$

Adăugați 90300 la ambele părți. Orice număr plus zero este egal cu el însuși.

$$5n^{2}+1205n=90300$$

Se împart ambele părți la 5.

$$\frac{5n^{2}+1205n}{5}=\frac{90300}{5}$$

Împărțirea la 5 anulează înmulțirea cu 5.

$$n^{2}+\frac{1205}{5}n=\frac{90300}{5}$$

Împărțiți 1205 la 5.

$$n^{2}+241n=\frac{90300}{5}$$

Împărțiți 90300 la 5.

$$n^{2}+241n=18060$$

Împărțiți 241, coeficientul termenului x, la 2 pentru a obține \frac{241}{2}. Apoi, adunați pătratul lui \frac{241}{2} la ambele părți ale ecuației. Acest pas face din partea stângă a ecuației un pătrat perfect.

$$n^{2}+241n+\left(\frac{241}{2}\right)^{2}=18060+\left(\frac{241}{2}\right)^{2}$$

Ridicați \frac{241}{2} la pătrat, calculând pătratul pentru numărătorul și numitorul fracției.

$$n^{2}+241n+\frac{58081}{4}=18060+\frac{58081}{4}$$

Adunați 18060 cu \frac{58081}{4}.

$$n^{2}+241n+\frac{58081}{4}=\frac{130321}{4}$$

Factor n^{2}+241n+\frac{58081}{4}. În general, atunci când x^{2}+bx+c este un pătrat perfect, el poate fi descompus în factori oricând ca \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(n+\frac{241}{2}\right)^{2}=\frac{130321}{4}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru ambele părți ale ecuației.

$$\sqrt{\left(n+\frac{241}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{130321}{4}}$$

Simplificați.

$$n+\frac{241}{2}=\frac{361}{2} n+\frac{241}{2}=-\frac{361}{2}$$

Scădeți \frac{241}{2} din ambele părți ale ecuației.

$$n=60 n=-301$$