Rezolvați 0=4x^2-x-3

$$0 = 4 x ^ { 2 } - x - 3$$

Rezolvați pentru x

$$x=-\frac{3}{4}=-0,75$$

$$x=1$$

Pași utilizând descompunerea în factori prin grupare

Interschimbați părțile, astfel încât toți termenii variabili să fie pe partea stângă.

$$4x^{2}-x-3=0$$

Pentru a rezolva ecuația, factor mâna stângă după grupare. Mai întâi, fața la stânga trebuie să fie rescrisă ca 4x^{2}+ax+bx-3. Pentru a găsi a și b, configurați un sistem pentru a fi rezolvat.

$$a+b=-1 ab=4\left(-3\right)=-12$$

Deoarece ab este negativ, a și b au semne opuse. Deoarece a+b este negativ, numărul negativ are o valoare absolută mai mare decât valoarea pozitivă. Listează toate perechi de valori întregi care oferă produse -12.

$$1,-12 2,-6 3,-4$$

Calculați suma pentru fiecare pereche.

$$1-12=-11 2-6=-4 3-4=-1$$

Soluția este perechea care dă suma de -1.

$$a=-4 b=3$$

Rescrieți 4x^{2}-x-3 ca \left(4x^{2}-4x\right)+\left(3x-3\right).

$$\left(4x^{2}-4x\right)+\left(3x-3\right)$$

Factor 4x în primul și 3 în al doilea grup.

$$4x\left(x-1\right)+3\left(x-1\right)$$

Scoateți termenul comun x-1 prin utilizarea proprietății de distributivitate.

$$\left(x-1\right)\left(4x+3\right)$$

Pentru a găsi soluții de ecuații, rezolvați x-1=0 și 4x+3=0.

$$x=1 x=-\frac{3}{4}$$

Pași folosind formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea

Interschimbați părțile, astfel încât toți termenii variabili să fie pe partea stângă.

$$4x^{2}-x-3=0$$

Această ecuație este în formă standard: ax^{2}+bx+c=0. Înlocuiți a cu 4, b cu -1 și c cu -3 în formula rădăcinilor ecuațiilor de gradul al doilea, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1-4\times 4\left(-3\right)}}{2\times 4}$$

Înmulțiți -4 cu 4.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1-16\left(-3\right)}}{2\times 4}$$

Înmulțiți -16 cu -3.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1+48}}{2\times 4}$$

Adunați 1 cu 48.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{49}}{2\times 4}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru 49.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±7}{2\times 4}$$

Opusul lui -1 este 1.

$$x=\frac{1±7}{2\times 4}$$

Înmulțiți 2 cu 4.

$$x=\frac{1±7}{8}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{1±7}{8} atunci când ± este plus. Adunați 1 cu 7.

$$x=\frac{8}{8}$$

Împărțiți 8 la 8.

$$x=1$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{1±7}{8} atunci când ± este minus. Scădeți 7 din 1.

$$x=-\frac{6}{8}$$

Reduceți fracția \frac{-6}{8} la cei mai mici termeni, prin extragerea și reducerea 2.

$$x=-\frac{3}{4}$$

Ecuația este rezolvată acum.

$$x=1 x=-\frac{3}{4}$$

Pași pentru completarea pătratului

Interschimbați părțile, astfel încât toți termenii variabili să fie pe partea stângă.

$$4x^{2}-x-3=0$$

Adăugați 3 la ambele părți. Orice număr plus zero este egal cu el însuși.

$$4x^{2}-x=3$$

Se împart ambele părți la 4.

$$\frac{4x^{2}-x}{4}=\frac{3}{4}$$

Împărțirea la 4 anulează înmulțirea cu 4.

$$x^{2}-\frac{1}{4}x=\frac{3}{4}$$

Împărțiți -\frac{1}{4}, coeficientul termenului x, la 2 pentru a obține -\frac{1}{8}. Apoi, adunați pătratul lui -\frac{1}{8} la ambele părți ale ecuației. Acest pas face din partea stângă a ecuației un pătrat perfect.

$$x^{2}-\frac{1}{4}x+\left(-\frac{1}{8}\right)^{2}=\frac{3}{4}+\left(-\frac{1}{8}\right)^{2}$$

Ridicați -\frac{1}{8} la pătrat, calculând pătratul pentru numărătorul și numitorul fracției.

$$x^{2}-\frac{1}{4}x+\frac{1}{64}=\frac{3}{4}+\frac{1}{64}$$

Adunați \frac{3}{4} cu \frac{1}{64} găsind un numitor comun și adunând numărătorii. Apoi simplificați fracția până devine ireductibilă, dacă este posibil.

$$x^{2}-\frac{1}{4}x+\frac{1}{64}=\frac{49}{64}$$

Factor x^{2}-\frac{1}{4}x+\frac{1}{64}. În general, atunci când x^{2}+bx+c este un pătrat perfect, el poate fi descompus în factori oricând ca \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{1}{8}\right)^{2}=\frac{49}{64}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru ambele părți ale ecuației.

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{8}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{49}{64}}$$

Simplificați.

$$x-\frac{1}{8}=\frac{7}{8} x-\frac{1}{8}=-\frac{7}{8}$$

Adunați \frac{1}{8} la ambele părți ale ecuației.

$$x=1 x=-\frac{3}{4}$$