Rezolvați 0=-5250+75t^2-225t

$$0 = - 5250 + 75 t ^ { 2 } - 225 t$$

Rezolvați pentru t

$$t=-7$$

$$t=10$$

Pași utilizând descompunerea în factori prin grupare

Interschimbați părțile, astfel încât toți termenii variabili să fie pe partea stângă.

$$-5250+75t^{2}-225t=0$$

Se împart ambele părți la 75.

$$-70+t^{2}-3t=0$$

Rearanjați polinomul pentru a-l pune în formă standard. Plasați termenii în ordine de la cel mai mare la puterea minimă.

$$t^{2}-3t-70=0$$

Pentru a rezolva ecuația, factor mâna stângă după grupare. Mai întâi, fața la stânga trebuie să fie rescrisă ca t^{2}+at+bt-70. Pentru a găsi a și b, configurați un sistem pentru a fi rezolvat.

$$a+b=-3 ab=1\left(-70\right)=-70$$

Deoarece ab este negativ, a și b au semne opuse. Deoarece a+b este negativ, numărul negativ are o valoare absolută mai mare decât valoarea pozitivă. Listează toate perechi de valori întregi care oferă produse -70.

$$1,-70 2,-35 5,-14 7,-10$$

Calculați suma pentru fiecare pereche.

$$1-70=-69 2-35=-33 5-14=-9 7-10=-3$$

Soluția este perechea care dă suma de -3.

$$a=-10 b=7$$

Rescrieți t^{2}-3t-70 ca \left(t^{2}-10t\right)+\left(7t-70\right).

$$\left(t^{2}-10t\right)+\left(7t-70\right)$$

Factor t în primul și 7 în al doilea grup.

$$t\left(t-10\right)+7\left(t-10\right)$$

Scoateți termenul comun t-10 prin utilizarea proprietății de distributivitate.

$$\left(t-10\right)\left(t+7\right)$$

Pentru a găsi soluții de ecuații, rezolvați t-10=0 și t+7=0.

$$t=10 t=-7$$

Pași folosind formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea

Interschimbați părțile, astfel încât toți termenii variabili să fie pe partea stângă.

$$-5250+75t^{2}-225t=0$$

Toate ecuațiile de forma ax^{2}+bx+c=0 pot fi rezolvate utilizând formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea oferă două soluții, una atunci când operația ± este de adunare și una atunci când este de scădere.

$$75t^{2}-225t-5250=0$$

Această ecuație este în formă standard: ax^{2}+bx+c=0. Înlocuiți a cu 75, b cu -225 și c cu -5250 în formula rădăcinilor ecuațiilor de gradul al doilea, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$t=\frac{-\left(-225\right)±\sqrt{\left(-225\right)^{2}-4\times 75\left(-5250\right)}}{2\times 75}$$

Ridicați -225 la pătrat.

$$t=\frac{-\left(-225\right)±\sqrt{50625-4\times 75\left(-5250\right)}}{2\times 75}$$

Înmulțiți -4 cu 75.

$$t=\frac{-\left(-225\right)±\sqrt{50625-300\left(-5250\right)}}{2\times 75}$$

Înmulțiți -300 cu -5250.

$$t=\frac{-\left(-225\right)±\sqrt{50625+1575000}}{2\times 75}$$

Adunați 50625 cu 1575000.

$$t=\frac{-\left(-225\right)±\sqrt{1625625}}{2\times 75}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru 1625625.

$$t=\frac{-\left(-225\right)±1275}{2\times 75}$$

Opusul lui -225 este 225.

$$t=\frac{225±1275}{2\times 75}$$

Înmulțiți 2 cu 75.

$$t=\frac{225±1275}{150}$$

Acum rezolvați ecuația t=\frac{225±1275}{150} atunci când ± este plus. Adunați 225 cu 1275.

$$t=\frac{1500}{150}$$

Împărțiți 1500 la 150.

$$t=10$$

Acum rezolvați ecuația t=\frac{225±1275}{150} atunci când ± este minus. Scădeți 1275 din 225.

$$t=-\frac{1050}{150}$$

Împărțiți -1050 la 150.

$$t=-7$$

Ecuația este rezolvată acum.

$$t=10 t=-7$$

Pași pentru completarea pătratului

Interschimbați părțile, astfel încât toți termenii variabili să fie pe partea stângă.

$$-5250+75t^{2}-225t=0$$

Adăugați 5250 la ambele părți. Orice număr plus zero este egal cu el însuși.

$$75t^{2}-225t=5250$$

Se împart ambele părți la 75.

$$\frac{75t^{2}-225t}{75}=\frac{5250}{75}$$

Împărțirea la 75 anulează înmulțirea cu 75.

$$t^{2}+\left(-\frac{225}{75}\right)t=\frac{5250}{75}$$

Împărțiți -225 la 75.

$$t^{2}-3t=\frac{5250}{75}$$

Împărțiți 5250 la 75.

$$t^{2}-3t=70$$

Împărțiți -3, coeficientul termenului x, la 2 pentru a obține -\frac{3}{2}. Apoi, adunați pătratul lui -\frac{3}{2} la ambele părți ale ecuației. Acest pas face din partea stângă a ecuației un pătrat perfect.

$$t^{2}-3t+\left(-\frac{3}{2}\right)^{2}=70+\left(-\frac{3}{2}\right)^{2}$$

Ridicați -\frac{3}{2} la pătrat, calculând pătratul pentru numărătorul și numitorul fracției.

$$t^{2}-3t+\frac{9}{4}=70+\frac{9}{4}$$

Adunați 70 cu \frac{9}{4}.

$$t^{2}-3t+\frac{9}{4}=\frac{289}{4}$$

Factor t^{2}-3t+\frac{9}{4}. În general, atunci când x^{2}+bx+c este un pătrat perfect, el poate fi descompus în factori oricând ca \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(t-\frac{3}{2}\right)^{2}=\frac{289}{4}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru ambele părți ale ecuației.

$$\sqrt{\left(t-\frac{3}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{289}{4}}$$

Simplificați.

$$t-\frac{3}{2}=\frac{17}{2} t-\frac{3}{2}=-\frac{17}{2}$$

Adunați \frac{3}{2} la ambele părți ale ecuației.

$$t=10 t=-7$$