Rezolvați 0=-5t^2+23t+10

$$0 = - 5 t ^ { 2 } + 23 t + 10$$

Rezolvați pentru t

$$t=5$$

$$t=-\frac{2}{5}=-0,4$$

Pași utilizând descompunerea în factori prin grupare

Interschimbați părțile, astfel încât toți termenii variabili să fie pe partea stângă.

$$-5t^{2}+23t+10=0$$

Pentru a rezolva ecuația, factor mâna stângă după grupare. Mai întâi, fața la stânga trebuie să fie rescrisă ca -5t^{2}+at+bt+10. Pentru a găsi a și b, configurați un sistem pentru a fi rezolvat.

$$a+b=23 ab=-5\times 10=-50$$

Deoarece ab este negativ, a și b au semne opuse. Deoarece a+b este pozitiv, numărul pozitiv are o valoare absolută mai mare decât valoarea negativă. Listează toate perechi de valori întregi care oferă produse -50.

$$-1,50 -2,25 -5,10$$

Calculați suma pentru fiecare pereche.

$$-1+50=49 -2+25=23 -5+10=5$$

Soluția este perechea care dă suma de 23.

$$a=25 b=-2$$

Rescrieți -5t^{2}+23t+10 ca \left(-5t^{2}+25t\right)+\left(-2t+10\right).

$$\left(-5t^{2}+25t\right)+\left(-2t+10\right)$$

Factor 5t în primul și 2 în al doilea grup.

$$5t\left(-t+5\right)+2\left(-t+5\right)$$

Scoateți termenul comun -t+5 prin utilizarea proprietății de distributivitate.

$$\left(-t+5\right)\left(5t+2\right)$$

Pentru a găsi soluții de ecuații, rezolvați -t+5=0 și 5t+2=0.

$$t=5 t=-\frac{2}{5}$$

Pași folosind formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea

Interschimbați părțile, astfel încât toți termenii variabili să fie pe partea stângă.

$$-5t^{2}+23t+10=0$$

Această ecuație este în formă standard: ax^{2}+bx+c=0. Înlocuiți a cu -5, b cu 23 și c cu 10 în formula rădăcinilor ecuațiilor de gradul al doilea, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$t=\frac{-23±\sqrt{23^{2}-4\left(-5\right)\times 10}}{2\left(-5\right)}$$

Ridicați 23 la pătrat.

$$t=\frac{-23±\sqrt{529-4\left(-5\right)\times 10}}{2\left(-5\right)}$$

Înmulțiți -4 cu -5.

$$t=\frac{-23±\sqrt{529+20\times 10}}{2\left(-5\right)}$$

Înmulțiți 20 cu 10.

$$t=\frac{-23±\sqrt{529+200}}{2\left(-5\right)}$$

Adunați 529 cu 200.

$$t=\frac{-23±\sqrt{729}}{2\left(-5\right)}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru 729.

$$t=\frac{-23±27}{2\left(-5\right)}$$

Înmulțiți 2 cu -5.

$$t=\frac{-23±27}{-10}$$

Acum rezolvați ecuația t=\frac{-23±27}{-10} atunci când ± este plus. Adunați -23 cu 27.

$$t=\frac{4}{-10}$$

Reduceți fracția \frac{4}{-10} la cei mai mici termeni, prin extragerea și reducerea 2.

$$t=-\frac{2}{5}$$

Acum rezolvați ecuația t=\frac{-23±27}{-10} atunci când ± este minus. Scădeți 27 din -23.

$$t=-\frac{50}{-10}$$

Împărțiți -50 la -10.

$$t=5$$

Ecuația este rezolvată acum.

$$t=-\frac{2}{5} t=5$$

Pași pentru completarea pătratului

Interschimbați părțile, astfel încât toți termenii variabili să fie pe partea stângă.

$$-5t^{2}+23t+10=0$$

Scădeți 10 din ambele părți. Orice se scade din zero dă negativul său.

$$-5t^{2}+23t=-10$$

Se împart ambele părți la -5.

$$\frac{-5t^{2}+23t}{-5}=-\frac{10}{-5}$$

Împărțirea la -5 anulează înmulțirea cu -5.

$$t^{2}+\frac{23}{-5}t=-\frac{10}{-5}$$

Împărțiți 23 la -5.

$$t^{2}-\frac{23}{5}t=-\frac{10}{-5}$$

Împărțiți -10 la -5.

$$t^{2}-\frac{23}{5}t=2$$

Împărțiți -\frac{23}{5}, coeficientul termenului x, la 2 pentru a obține -\frac{23}{10}. Apoi, adunați pătratul lui -\frac{23}{10} la ambele părți ale ecuației. Acest pas face din partea stângă a ecuației un pătrat perfect.

$$t^{2}-\frac{23}{5}t+\left(-\frac{23}{10}\right)^{2}=2+\left(-\frac{23}{10}\right)^{2}$$

Ridicați -\frac{23}{10} la pătrat, calculând pătratul pentru numărătorul și numitorul fracției.

$$t^{2}-\frac{23}{5}t+\frac{529}{100}=2+\frac{529}{100}$$

Adunați 2 cu \frac{529}{100}.

$$t^{2}-\frac{23}{5}t+\frac{529}{100}=\frac{729}{100}$$

Factor t^{2}-\frac{23}{5}t+\frac{529}{100}. În general, atunci când x^{2}+bx+c este un pătrat perfect, el poate fi descompus în factori oricând ca \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(t-\frac{23}{10}\right)^{2}=\frac{729}{100}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru ambele părți ale ecuației.

$$\sqrt{\left(t-\frac{23}{10}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{729}{100}}$$

Simplificați.

$$t-\frac{23}{10}=\frac{27}{10} t-\frac{23}{10}=-\frac{27}{10}$$

Adunați \frac{23}{10} la ambele părți ale ecuației.

$$t=5 t=-\frac{2}{5}$$