Rezolvați -80x^2+50x-5=0

$$-80 { x }^{ 2 } +50x-5=0$$

Rezolvați pentru x

$$x=\frac{1}{8}=0,125$$

$$x=\frac{1}{2}=0,5$$

Pași utilizând descompunerea în factori prin grupare

Se împart ambele părți la 5.

$$-16x^{2}+10x-1=0$$

Pentru a rezolva ecuația, factor mâna stângă după grupare. Mai întâi, fața la stânga trebuie să fie rescrisă ca -16x^{2}+ax+bx-1. Pentru a găsi a și b, configurați un sistem pentru a fi rezolvat.

$$a+b=10 ab=-16\left(-1\right)=16$$

Deoarece ab este pozitiv, a și b au același semn. Deoarece a+b este pozitiv, a și b sunt ambele pozitive. Listează toate perechi de valori întregi care oferă produse 16.

$$1,16 2,8 4,4$$

Calculați suma pentru fiecare pereche.

$$1+16=17 2+8=10 4+4=8$$

Soluția este perechea care dă suma de 10.

$$a=8 b=2$$

Rescrieți -16x^{2}+10x-1 ca \left(-16x^{2}+8x\right)+\left(2x-1\right).

$$\left(-16x^{2}+8x\right)+\left(2x-1\right)$$

Scoateți factorul comun -8x din -16x^{2}+8x.

$$-8x\left(2x-1\right)+2x-1$$

Scoateți termenul comun 2x-1 prin utilizarea proprietății de distributivitate.

$$\left(2x-1\right)\left(-8x+1\right)$$

Pentru a găsi soluții de ecuații, rezolvați 2x-1=0 și -8x+1=0.

$$x=\frac{1}{2} x=\frac{1}{8}$$

Pași folosind formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea

Toate ecuațiile de forma ax^{2}+bx+c=0 pot fi rezolvate utilizând formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea oferă două soluții, una atunci când operația ± este de adunare și una atunci când este de scădere.

$$-80x^{2}+50x-5=0$$

Această ecuație este în formă standard: ax^{2}+bx+c=0. Înlocuiți a cu -80, b cu 50 și c cu -5 în formula rădăcinilor ecuațiilor de gradul al doilea, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-50±\sqrt{50^{2}-4\left(-80\right)\left(-5\right)}}{2\left(-80\right)}$$

Ridicați 50 la pătrat.

$$x=\frac{-50±\sqrt{2500-4\left(-80\right)\left(-5\right)}}{2\left(-80\right)}$$

Înmulțiți -4 cu -80.

$$x=\frac{-50±\sqrt{2500+320\left(-5\right)}}{2\left(-80\right)}$$

Înmulțiți 320 cu -5.

$$x=\frac{-50±\sqrt{2500-1600}}{2\left(-80\right)}$$

Adunați 2500 cu -1600.

$$x=\frac{-50±\sqrt{900}}{2\left(-80\right)}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru 900.

$$x=\frac{-50±30}{2\left(-80\right)}$$

Înmulțiți 2 cu -80.

$$x=\frac{-50±30}{-160}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{-50±30}{-160} atunci când ± este plus. Adunați -50 cu 30.

$$x=-\frac{20}{-160}$$

Reduceți fracția \frac{-20}{-160} la cei mai mici termeni, prin extragerea și reducerea 20.

$$x=\frac{1}{8}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{-50±30}{-160} atunci când ± este minus. Scădeți 30 din -50.

$$x=-\frac{80}{-160}$$

Reduceți fracția \frac{-80}{-160} la cei mai mici termeni, prin extragerea și reducerea 80.

$$x=\frac{1}{2}$$

Ecuația este rezolvată acum.

$$x=\frac{1}{8} x=\frac{1}{2}$$

Pași pentru completarea pătratului

Ecuațiile de gradul doi ca aceasta pot fi rezolvate prin completarea pătratului. Pentru a completa pătratul, ecuația trebuie mai întâi să fie sub forma x^{2}+bx=c.

$$-80x^{2}+50x-5=0$$

Adunați 5 la ambele părți ale ecuației.

$$-80x^{2}+50x-5-\left(-5\right)=-\left(-5\right)$$

Scăderea -5 din el însuși are ca rezultat 0.

$$-80x^{2}+50x=-\left(-5\right)$$

Scădeți -5 din 0.

$$-80x^{2}+50x=5$$

Se împart ambele părți la -80.

$$\frac{-80x^{2}+50x}{-80}=\frac{5}{-80}$$

Împărțirea la -80 anulează înmulțirea cu -80.

$$x^{2}+\frac{50}{-80}x=\frac{5}{-80}$$

Reduceți fracția \frac{50}{-80} la cei mai mici termeni, prin extragerea și reducerea 10.

$$x^{2}-\frac{5}{8}x=\frac{5}{-80}$$

Reduceți fracția \frac{5}{-80} la cei mai mici termeni, prin extragerea și reducerea 5.

$$x^{2}-\frac{5}{8}x=-\frac{1}{16}$$

Împărțiți -\frac{5}{8}, coeficientul termenului x, la 2 pentru a obține -\frac{5}{16}. Apoi, adunați pătratul lui -\frac{5}{16} la ambele părți ale ecuației. Acest pas face din partea stângă a ecuației un pătrat perfect.

$$x^{2}-\frac{5}{8}x+\left(-\frac{5}{16}\right)^{2}=-\frac{1}{16}+\left(-\frac{5}{16}\right)^{2}$$

Ridicați -\frac{5}{16} la pătrat, calculând pătratul pentru numărătorul și numitorul fracției.

$$x^{2}-\frac{5}{8}x+\frac{25}{256}=-\frac{1}{16}+\frac{25}{256}$$

Adunați -\frac{1}{16} cu \frac{25}{256} găsind un numitor comun și adunând numărătorii. Apoi simplificați fracția până devine ireductibilă, dacă este posibil.

$$x^{2}-\frac{5}{8}x+\frac{25}{256}=\frac{9}{256}$$

Factor x^{2}-\frac{5}{8}x+\frac{25}{256}. În general, atunci când x^{2}+bx+c este un pătrat perfect, el poate fi descompus în factori oricând ca \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{5}{16}\right)^{2}=\frac{9}{256}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru ambele părți ale ecuației.

$$\sqrt{\left(x-\frac{5}{16}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{9}{256}}$$

Simplificați.

$$x-\frac{5}{16}=\frac{3}{16} x-\frac{5}{16}=-\frac{3}{16}$$

Adunați \frac{5}{16} la ambele părți ale ecuației.

$$x=\frac{1}{2} x=\frac{1}{8}$$