Rezolvați -4x^2+20x-47=0

$$-4 { x }^{ 2 } +20x-47=0$$

Rezolvați pentru x (complex solution)

$$x=\frac{-\sqrt{22}i+5}{2}\approx 2,5-2,34520788i$$

$$x=\frac{5+\sqrt{22}i}{2}\approx 2,5+2,34520788i$$

Pași folosind formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea

Toate ecuațiile de forma ax^{2}+bx+c=0 pot fi rezolvate utilizând formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea oferă două soluții, una atunci când operația ± este de adunare și una atunci când este de scădere.

$$-4x^{2}+20x-47=0$$

Această ecuație este în formă standard: ax^{2}+bx+c=0. Înlocuiți a cu -4, b cu 20 și c cu -47 în formula rădăcinilor ecuațiilor de gradul al doilea, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-20±\sqrt{20^{2}-4\left(-4\right)\left(-47\right)}}{2\left(-4\right)}$$

Ridicați 20 la pătrat.

$$x=\frac{-20±\sqrt{400-4\left(-4\right)\left(-47\right)}}{2\left(-4\right)}$$

Înmulțiți -4 cu -4.

$$x=\frac{-20±\sqrt{400+16\left(-47\right)}}{2\left(-4\right)}$$

Înmulțiți 16 cu -47.

$$x=\frac{-20±\sqrt{400-752}}{2\left(-4\right)}$$

Adunați 400 cu -752.

$$x=\frac{-20±\sqrt{-352}}{2\left(-4\right)}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru -352.

$$x=\frac{-20±4\sqrt{22}i}{2\left(-4\right)}$$

Înmulțiți 2 cu -4.

$$x=\frac{-20±4\sqrt{22}i}{-8}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{-20±4\sqrt{22}i}{-8} atunci când ± este plus. Adunați -20 cu 4i\sqrt{22}.

$$x=\frac{-20+4\sqrt{22}i}{-8}$$

Împărțiți -20+4i\sqrt{22} la -8.

$$x=\frac{-\sqrt{22}i+5}{2}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{-20±4\sqrt{22}i}{-8} atunci când ± este minus. Scădeți 4i\sqrt{22} din -20.

$$x=\frac{-4\sqrt{22}i-20}{-8}$$

Împărțiți -20-4i\sqrt{22} la -8.

$$x=\frac{5+\sqrt{22}i}{2}$$

Ecuația este rezolvată acum.

$$x=\frac{-\sqrt{22}i+5}{2} x=\frac{5+\sqrt{22}i}{2}$$

Pași pentru completarea pătratului

Ecuațiile de gradul doi ca aceasta pot fi rezolvate prin completarea pătratului. Pentru a completa pătratul, ecuația trebuie mai întâi să fie sub forma x^{2}+bx=c.

$$-4x^{2}+20x-47=0$$

Adunați 47 la ambele părți ale ecuației.

$$-4x^{2}+20x-47-\left(-47\right)=-\left(-47\right)$$

Scăderea -47 din el însuși are ca rezultat 0.

$$-4x^{2}+20x=-\left(-47\right)$$

Scădeți -47 din 0.

$$-4x^{2}+20x=47$$

Se împart ambele părți la -4.

$$\frac{-4x^{2}+20x}{-4}=\frac{47}{-4}$$

Împărțirea la -4 anulează înmulțirea cu -4.

$$x^{2}+\frac{20}{-4}x=\frac{47}{-4}$$

Împărțiți 20 la -4.

$$x^{2}-5x=\frac{47}{-4}$$

Împărțiți 47 la -4.

$$x^{2}-5x=-\frac{47}{4}$$

Împărțiți -5, coeficientul termenului x, la 2 pentru a obține -\frac{5}{2}. Apoi, adunați pătratul lui -\frac{5}{2} la ambele părți ale ecuației. Acest pas face din partea stângă a ecuației un pătrat perfect.

$$x^{2}-5x+\left(-\frac{5}{2}\right)^{2}=-\frac{47}{4}+\left(-\frac{5}{2}\right)^{2}$$

Ridicați -\frac{5}{2} la pătrat, calculând pătratul pentru numărătorul și numitorul fracției.

$$x^{2}-5x+\frac{25}{4}=\frac{-47+25}{4}$$

Adunați -\frac{47}{4} cu \frac{25}{4} găsind un numitor comun și adunând numărătorii. Apoi simplificați fracția până devine ireductibilă, dacă este posibil.

$$x^{2}-5x+\frac{25}{4}=-\frac{11}{2}$$

Factorul x^{2}-5x+\frac{25}{4}. În general, când x^{2}+bx+c este un pătrat perfect, acesta poate fi descompus întotdeauna în factori ca \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{5}{2}\right)^{2}=-\frac{11}{2}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru ambele părți ale ecuației.

$$\sqrt{\left(x-\frac{5}{2}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{11}{2}}$$

Simplificați.

$$x-\frac{5}{2}=\frac{\sqrt{22}i}{2} x-\frac{5}{2}=-\frac{\sqrt{22}i}{2}$$

Adunați \frac{5}{2} la ambele părți ale ecuației.

$$x=\frac{5+\sqrt{22}i}{2} x=\frac{-\sqrt{22}i+5}{2}$$