Rezolvați -4x^2+16x+272>0

$$-4 { x }^{ 2 } +16x+272 > 0$$

Rezolvați pentru x

$$x\in \left(2-6\sqrt{2},6\sqrt{2}+2\right)$$

Pași folosind formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea

Înmulțiți inegalitatea cu -1 pentru a face pozitiv coeficientul celei mai mari puteri din -4x^{2}+16x+272. Deoarece -1 este negativ, direcția inegalitatea este modificată.

$$4x^{2}-16x-272<0$$

Pentru a rezolva inegalitatea, descompuneți în factori partea stângă. Polinomul de gradul doi se poate descompune în factori folosind transformarea ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), unde x_{1} și x_{2} sunt soluțiile ecuației de gradul doi ax^{2}+bx+c=0.

$$4x^{2}-16x-272=0$$

Toate ecuațiile de forma ax^{2}+bx+c=0 pot fi rezolvate folosind formula ecuației de gradul doi: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. În formulă, înlocuiți a cu 4, b cu -16 și c cu -272.

$$x=\frac{-\left(-16\right)±\sqrt{\left(-16\right)^{2}-4\times 4\left(-272\right)}}{2\times 4}$$

Faceți calculele.

$$x=\frac{16±48\sqrt{2}}{8}$$

Rezolvați ecuația x=\frac{16±48\sqrt{2}}{8} când ± este plus și când ± este minus.

$$x=6\sqrt{2}+2 x=2-6\sqrt{2}$$

Rescrieți inegalitatea utilizând soluțiile obținute.

$$4\left(x-\left(6\sqrt{2}+2\right)\right)\left(x-\left(2-6\sqrt{2}\right)\right)<0$$

Pentru ca produsul să fie negativ, x-\left(6\sqrt{2}+2\right) și x-\left(2-6\sqrt{2}\right) trebuie să fie de semne opuse. Tratați cazul în care x-\left(6\sqrt{2}+2\right) este pozitiv și x-\left(2-6\sqrt{2}\right) este negativ.

$$x-\left(6\sqrt{2}+2\right)>0 x-\left(2-6\sqrt{2}\right)<0$$

Este fals pentru orice x.

$$x\in \emptyset$$

Tratați cazul în care x-\left(2-6\sqrt{2}\right) este pozitiv și x-\left(6\sqrt{2}+2\right) este negativ.

$$x-\left(2-6\sqrt{2}\right)>0 x-\left(6\sqrt{2}+2\right)<0$$

Soluția care îndeplinește ambele inegalități este x\in \left(2-6\sqrt{2},6\sqrt{2}+2\right).

$$x\in \left(2-6\sqrt{2},6\sqrt{2}+2\right)$$

Soluția finală este reuniunea soluțiilor obținute.

$$x\in \left(2-6\sqrt{2},6\sqrt{2}+2\right)$$