Rezolvați -3x^2+16x+128=0

$$-3 { x }^{ 2 } +16x+128=0$$

Rezolvați pentru x

$$x = \frac{8 \sqrt{7} + 8}{3} \approx 9,722003496$$

$$x=\frac{8-8\sqrt{7}}{3}\approx -4,388670163$$

Pași folosind formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea

Toate ecuațiile de forma ax^{2}+bx+c=0 pot fi rezolvate utilizând formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea oferă două soluții, una atunci când operația ± este de adunare și una atunci când este de scădere.

$$-3x^{2}+16x+128=0$$

Această ecuație este în formă standard: ax^{2}+bx+c=0. Înlocuiți a cu -3, b cu 16 și c cu 128 în formula rădăcinilor ecuațiilor de gradul al doilea, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-16±\sqrt{16^{2}-4\left(-3\right)\times 128}}{2\left(-3\right)}$$

Ridicați 16 la pătrat.

$$x=\frac{-16±\sqrt{256-4\left(-3\right)\times 128}}{2\left(-3\right)}$$

Înmulțiți -4 cu -3.

$$x=\frac{-16±\sqrt{256+12\times 128}}{2\left(-3\right)}$$

Înmulțiți 12 cu 128.

$$x=\frac{-16±\sqrt{256+1536}}{2\left(-3\right)}$$

Adunați 256 cu 1536.

$$x=\frac{-16±\sqrt{1792}}{2\left(-3\right)}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru 1792.

$$x=\frac{-16±16\sqrt{7}}{2\left(-3\right)}$$

Înmulțiți 2 cu -3.

$$x=\frac{-16±16\sqrt{7}}{-6}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{-16±16\sqrt{7}}{-6} atunci când ± este plus. Adunați -16 cu 16\sqrt{7}.

$$x=\frac{16\sqrt{7}-16}{-6}$$

Împărțiți -16+16\sqrt{7} la -6.

$$x=\frac{8-8\sqrt{7}}{3}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{-16±16\sqrt{7}}{-6} atunci când ± este minus. Scădeți 16\sqrt{7} din -16.

$$x=\frac{-16\sqrt{7}-16}{-6}$$

Împărțiți -16-16\sqrt{7} la -6.

$$x=\frac{8\sqrt{7}+8}{3}$$

Ecuația este rezolvată acum.

$$x=\frac{8-8\sqrt{7}}{3} x=\frac{8\sqrt{7}+8}{3}$$

Pași pentru completarea pătratului

Ecuațiile de gradul doi ca aceasta pot fi rezolvate prin completarea pătratului. Pentru a completa pătratul, ecuația trebuie mai întâi să fie sub forma x^{2}+bx=c.

$$-3x^{2}+16x+128=0$$

Scădeți 128 din ambele părți ale ecuației.

$$-3x^{2}+16x+128-128=-128$$

Scăderea 128 din el însuși are ca rezultat 0.

$$-3x^{2}+16x=-128$$

Se împart ambele părți la -3.

$$\frac{-3x^{2}+16x}{-3}=-\frac{128}{-3}$$

Împărțirea la -3 anulează înmulțirea cu -3.

$$x^{2}+\frac{16}{-3}x=-\frac{128}{-3}$$

Împărțiți 16 la -3.

$$x^{2}-\frac{16}{3}x=-\frac{128}{-3}$$

Împărțiți -128 la -3.

$$x^{2}-\frac{16}{3}x=\frac{128}{3}$$

Împărțiți -\frac{16}{3}, coeficientul termenului x, la 2 pentru a obține -\frac{8}{3}. Apoi, adunați pătratul lui -\frac{8}{3} la ambele părți ale ecuației. Acest pas face din partea stângă a ecuației un pătrat perfect.

$$x^{2}-\frac{16}{3}x+\left(-\frac{8}{3}\right)^{2}=\frac{128}{3}+\left(-\frac{8}{3}\right)^{2}$$

Ridicați -\frac{8}{3} la pătrat, calculând pătratul pentru numărătorul și numitorul fracției.

$$x^{2}-\frac{16}{3}x+\frac{64}{9}=\frac{128}{3}+\frac{64}{9}$$

Adunați \frac{128}{3} cu \frac{64}{9} găsind un numitor comun și adunând numărătorii. Apoi simplificați fracția până devine ireductibilă, dacă este posibil.

$$x^{2}-\frac{16}{3}x+\frac{64}{9}=\frac{448}{9}$$

Factor x^{2}-\frac{16}{3}x+\frac{64}{9}. În general, atunci când x^{2}+bx+c este un pătrat perfect, el poate fi descompus în factori oricând ca \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{8}{3}\right)^{2}=\frac{448}{9}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru ambele părți ale ecuației.

$$\sqrt{\left(x-\frac{8}{3}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{448}{9}}$$

Simplificați.

$$x-\frac{8}{3}=\frac{8\sqrt{7}}{3} x-\frac{8}{3}=-\frac{8\sqrt{7}}{3}$$

Adunați \frac{8}{3} la ambele părți ale ecuației.

$$x=\frac{8\sqrt{7}+8}{3} x=\frac{8-8\sqrt{7}}{3}$$