Rezolvați -2800+160x-x^2

$$-2800+160x- { x }^{ 2 }$$

Descompunere în factori

$$\left(20-x\right)\left(x-140\right)$$

Pașii soluției

Rearanjați polinomul pentru a-l pune în formă standard. Plasați termenii în ordine de la cel mai mare la puterea minimă.

$$-x^{2}+160x-2800$$

Descompuneți expresia în factori prin grupare. Mai întâi, expresia trebuie să fie rescrisă ca -x^{2}+ax+bx-2800. Pentru a găsi a și b, configurați un sistem pentru a fi rezolvat.

$$a+b=160 ab=-\left(-2800\right)=2800$$

Deoarece ab este pozitiv, a și b au același semn. Deoarece a+b este pozitiv, a și b sunt ambele pozitive. Listează toate perechi de valori întregi care oferă produse 2800.

$$1,2800 2,1400 4,700 5,560 7,400 8,350 10,280 14,200 16,175 20,140 25,112 28,100 35,80 40,70 50,56$$

Calculați suma pentru fiecare pereche.

$$1+2800=2801 2+1400=1402 4+700=704 5+560=565 7+400=407 8+350=358 10+280=290 14+200=214 16+175=191 20+140=160 25+112=137 28+100=128 35+80=115 40+70=110 50+56=106$$

Soluția este perechea care dă suma de 160.

$$a=140 b=20$$

Rescrieți -x^{2}+160x-2800 ca \left(-x^{2}+140x\right)+\left(20x-2800\right).

$$\left(-x^{2}+140x\right)+\left(20x-2800\right)$$

Factor -x în primul și 20 în al doilea grup.

$$-x\left(x-140\right)+20\left(x-140\right)$$

Scoateți termenul comun x-140 prin utilizarea proprietății de distributivitate.

$$\left(x-140\right)\left(-x+20\right)$$

Pași folosind formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea

Polinomul de gradul doi se poate descompune în factori folosind transformarea ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), unde x_{1} și x_{2} sunt soluțiile ecuației de gradul doi ax^{2}+bx+c=0.

$$-x^{2}+160x-2800=0$$

Toate ecuațiile de forma ax^{2}+bx+c=0 pot fi rezolvate utilizând formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea oferă două soluții, una atunci când operația ± este de adunare și una atunci când este de scădere.

$$x=\frac{-160±\sqrt{160^{2}-4\left(-1\right)\left(-2800\right)}}{2\left(-1\right)}$$

Ridicați 160 la pătrat.

$$x=\frac{-160±\sqrt{25600-4\left(-1\right)\left(-2800\right)}}{2\left(-1\right)}$$

Înmulțiți -4 cu -1.

$$x=\frac{-160±\sqrt{25600+4\left(-2800\right)}}{2\left(-1\right)}$$

Înmulțiți 4 cu -2800.

$$x=\frac{-160±\sqrt{25600-11200}}{2\left(-1\right)}$$

Adunați 25600 cu -11200.

$$x=\frac{-160±\sqrt{14400}}{2\left(-1\right)}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru 14400.

$$x=\frac{-160±120}{2\left(-1\right)}$$

Înmulțiți 2 cu -1.

$$x=\frac{-160±120}{-2}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{-160±120}{-2} atunci când ± este plus. Adunați -160 cu 120.

$$x=-\frac{40}{-2}$$

Împărțiți -40 la -2.

$$x=20$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{-160±120}{-2} atunci când ± este minus. Scădeți 120 din -160.

$$x=-\frac{280}{-2}$$

Împărțiți -280 la -2.

$$x=140$$

Descompuneți în factori expresia inițială utilizând ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right). Înlocuiți x_{1} cu 20 și x_{2} cu 140.

$$-x^{2}+160x-2800=-\left(x-20\right)\left(x-140\right)$$

Evaluați

$$\left(20-x\right)\left(x-140\right)$$