Rezolvați -2x^2-x+16=0

$$-2 { x }^{ 2 } -x+16=0$$

Rezolvați pentru x

$$x = \frac{\sqrt{129} - 1}{4} \approx 2,589454173$$

$$x=\frac{-\sqrt{129}-1}{4}\approx -3,089454173$$

Pași folosind formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea

Toate ecuațiile de forma ax^{2}+bx+c=0 pot fi rezolvate utilizând formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea oferă două soluții, una atunci când operația ± este de adunare și una atunci când este de scădere.

$$-2x^{2}-x+16=0$$

Această ecuație este în formă standard: ax^{2}+bx+c=0. Înlocuiți a cu -2, b cu -1 și c cu 16 în formula rădăcinilor ecuațiilor de gradul al doilea, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1-4\left(-2\right)\times 16}}{2\left(-2\right)}$$

Înmulțiți -4 cu -2.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1+8\times 16}}{2\left(-2\right)}$$

Înmulțiți 8 cu 16.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1+128}}{2\left(-2\right)}$$

Adunați 1 cu 128.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{129}}{2\left(-2\right)}$$

Opusul lui -1 este 1.

$$x=\frac{1±\sqrt{129}}{2\left(-2\right)}$$

Înmulțiți 2 cu -2.

$$x=\frac{1±\sqrt{129}}{-4}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{1±\sqrt{129}}{-4} atunci când ± este plus. Adunați 1 cu \sqrt{129}.

$$x=\frac{\sqrt{129}+1}{-4}$$

Împărțiți 1+\sqrt{129} la -4.

$$x=\frac{-\sqrt{129}-1}{4}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{1±\sqrt{129}}{-4} atunci când ± este minus. Scădeți \sqrt{129} din 1.

$$x=\frac{1-\sqrt{129}}{-4}$$

Împărțiți 1-\sqrt{129} la -4.

$$x=\frac{\sqrt{129}-1}{4}$$

Ecuația este rezolvată acum.

$$x=\frac{-\sqrt{129}-1}{4} x=\frac{\sqrt{129}-1}{4}$$

Pași pentru completarea pătratului

Ecuațiile de gradul doi ca aceasta pot fi rezolvate prin completarea pătratului. Pentru a completa pătratul, ecuația trebuie mai întâi să fie sub forma x^{2}+bx=c.

$$-2x^{2}-x+16=0$$

Scădeți 16 din ambele părți ale ecuației.

$$-2x^{2}-x+16-16=-16$$

Scăderea 16 din el însuși are ca rezultat 0.

$$-2x^{2}-x=-16$$

Se împart ambele părți la -2.

$$\frac{-2x^{2}-x}{-2}=-\frac{16}{-2}$$

Împărțirea la -2 anulează înmulțirea cu -2.

$$x^{2}+\left(-\frac{1}{-2}\right)x=-\frac{16}{-2}$$

Împărțiți -1 la -2.

$$x^{2}+\frac{1}{2}x=-\frac{16}{-2}$$

Împărțiți -16 la -2.

$$x^{2}+\frac{1}{2}x=8$$

Împărțiți \frac{1}{2}, coeficientul termenului x, la 2 pentru a obține \frac{1}{4}. Apoi, adunați pătratul lui \frac{1}{4} la ambele părți ale ecuației. Acest pas face din partea stângă a ecuației un pătrat perfect.

$$x^{2}+\frac{1}{2}x+\left(\frac{1}{4}\right)^{2}=8+\left(\frac{1}{4}\right)^{2}$$

Ridicați \frac{1}{4} la pătrat, calculând pătratul pentru numărătorul și numitorul fracției.

$$x^{2}+\frac{1}{2}x+\frac{1}{16}=8+\frac{1}{16}$$

Adunați 8 cu \frac{1}{16}.

$$x^{2}+\frac{1}{2}x+\frac{1}{16}=\frac{129}{16}$$

Factor x^{2}+\frac{1}{2}x+\frac{1}{16}. În general, atunci când x^{2}+bx+c este un pătrat perfect, el poate fi descompus în factori oricând ca \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{1}{4}\right)^{2}=\frac{129}{16}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru ambele părți ale ecuației.

$$\sqrt{\left(x+\frac{1}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{129}{16}}$$

Simplificați.

$$x+\frac{1}{4}=\frac{\sqrt{129}}{4} x+\frac{1}{4}=-\frac{\sqrt{129}}{4}$$

Scădeți \frac{1}{4} din ambele părți ale ecuației.

$$x=\frac{\sqrt{129}-1}{4} x=\frac{-\sqrt{129}-1}{4}$$