Rezolvați -2x^2+20x=48

$$-2 { x }^{ 2 } +20x=48$$

Rezolvați pentru x

$$x=4$$

$$x=6$$

Pași utilizând descompunerea în factori prin grupare

Scădeți 48 din ambele părți.

$$-2x^{2}+20x-48=0$$

Se împart ambele părți la 2.

$$-x^{2}+10x-24=0$$

Pentru a rezolva ecuația, factor mâna stângă după grupare. Mai întâi, fața la stânga trebuie să fie rescrisă ca -x^{2}+ax+bx-24. Pentru a găsi a și b, configurați un sistem pentru a fi rezolvat.

$$a+b=10 ab=-\left(-24\right)=24$$

Deoarece ab este pozitiv, a și b au același semn. Deoarece a+b este pozitiv, a și b sunt ambele pozitive. Listează toate perechi de valori întregi care oferă produse 24.

$$1,24 2,12 3,8 4,6$$

Calculați suma pentru fiecare pereche.

$$1+24=25 2+12=14 3+8=11 4+6=10$$

Soluția este perechea care dă suma de 10.

$$a=6 b=4$$

Rescrieți -x^{2}+10x-24 ca \left(-x^{2}+6x\right)+\left(4x-24\right).

$$\left(-x^{2}+6x\right)+\left(4x-24\right)$$

Factor -x în primul și 4 în al doilea grup.

$$-x\left(x-6\right)+4\left(x-6\right)$$

Scoateți termenul comun x-6 prin utilizarea proprietății de distributivitate.

$$\left(x-6\right)\left(-x+4\right)$$

Pentru a găsi soluții de ecuații, rezolvați x-6=0 și -x+4=0.

$$x=6 x=4$$

Pași folosind formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea

Toate ecuațiile de forma ax^{2}+bx+c=0 pot fi rezolvate utilizând formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea oferă două soluții, una atunci când operația ± este de adunare și una atunci când este de scădere.

$$-2x^{2}+20x=48$$

Scădeți 48 din ambele părți ale ecuației.

$$-2x^{2}+20x-48=48-48$$

Scăderea 48 din el însuși are ca rezultat 0.

$$-2x^{2}+20x-48=0$$

Această ecuație este în formă standard: ax^{2}+bx+c=0. Înlocuiți a cu -2, b cu 20 și c cu -48 în formula rădăcinilor ecuațiilor de gradul al doilea, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-20±\sqrt{20^{2}-4\left(-2\right)\left(-48\right)}}{2\left(-2\right)}$$

Ridicați 20 la pătrat.

$$x=\frac{-20±\sqrt{400-4\left(-2\right)\left(-48\right)}}{2\left(-2\right)}$$

Înmulțiți -4 cu -2.

$$x=\frac{-20±\sqrt{400+8\left(-48\right)}}{2\left(-2\right)}$$

Înmulțiți 8 cu -48.

$$x=\frac{-20±\sqrt{400-384}}{2\left(-2\right)}$$

Adunați 400 cu -384.

$$x=\frac{-20±\sqrt{16}}{2\left(-2\right)}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru 16.

$$x=\frac{-20±4}{2\left(-2\right)}$$

Înmulțiți 2 cu -2.

$$x=\frac{-20±4}{-4}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{-20±4}{-4} atunci când ± este plus. Adunați -20 cu 4.

$$x=-\frac{16}{-4}$$

Împărțiți -16 la -4.

$$x=4$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{-20±4}{-4} atunci când ± este minus. Scădeți 4 din -20.

$$x=-\frac{24}{-4}$$

Împărțiți -24 la -4.

$$x=6$$

Ecuația este rezolvată acum.

$$x=4 x=6$$

Pași pentru completarea pătratului

Ecuațiile de gradul doi ca aceasta pot fi rezolvate prin completarea pătratului. Pentru a completa pătratul, ecuația trebuie mai întâi să fie sub forma x^{2}+bx=c.

$$-2x^{2}+20x=48$$

Se împart ambele părți la -2.

$$\frac{-2x^{2}+20x}{-2}=\frac{48}{-2}$$

Împărțirea la -2 anulează înmulțirea cu -2.

$$x^{2}+\frac{20}{-2}x=\frac{48}{-2}$$

Împărțiți 20 la -2.

$$x^{2}-10x=\frac{48}{-2}$$

Împărțiți 48 la -2.

$$x^{2}-10x=-24$$

Împărțiți -10, coeficientul termenului x, la 2 pentru a obține -5. Apoi, adunați pătratul lui -5 la ambele părți ale ecuației. Acest pas face din partea stângă a ecuației un pătrat perfect.

$$x^{2}-10x+\left(-5\right)^{2}=-24+\left(-5\right)^{2}$$

Ridicați -5 la pătrat.

$$x^{2}-10x+25=-24+25$$

Adunați -24 cu 25.

$$x^{2}-10x+25=1$$

Factor x^{2}-10x+25. În general, atunci când x^{2}+bx+c este un pătrat perfect, el poate fi descompus în factori oricând ca \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-5\right)^{2}=1$$

Aflați rădăcina pătrată pentru ambele părți ale ecuației.

$$\sqrt{\left(x-5\right)^{2}}=\sqrt{1}$$

Simplificați.

$$x-5=1 x-5=-1$$

Adunați 5 la ambele părți ale ecuației.

$$x=6 x=4$$