Rezolvați -16y^2+148y-252

$$-16 { y }^{ 2 } +148y-252$$

Descompunere în factori

$$4\left(7-y\right)\left(4y-9\right)$$

Pașii soluției

Scoateți factorul comun 4.

$$4\left(-4y^{2}+37y-63\right)$$

Să luăm -4y^{2}+37y-63. Descompuneți expresia în factori prin grupare. Mai întâi, expresia trebuie să fie rescrisă ca -4y^{2}+ay+by-63. Pentru a găsi a și b, configurați un sistem pentru a fi rezolvat.

$$a+b=37 ab=-4\left(-63\right)=252$$

Deoarece ab este pozitiv, a și b au același semn. Deoarece a+b este pozitiv, a și b sunt ambele pozitive. Listează toate perechi de valori întregi care oferă produse 252.

$$1,252 2,126 3,84 4,63 6,42 7,36 9,28 12,21 14,18$$

Calculați suma pentru fiecare pereche.

$$1+252=253 2+126=128 3+84=87 4+63=67 6+42=48 7+36=43 9+28=37 12+21=33 14+18=32$$

Soluția este perechea care dă suma de 37.

$$a=28 b=9$$

Rescrieți -4y^{2}+37y-63 ca \left(-4y^{2}+28y\right)+\left(9y-63\right).

$$\left(-4y^{2}+28y\right)+\left(9y-63\right)$$

Factor 4y în primul și -9 în al doilea grup.

$$4y\left(-y+7\right)-9\left(-y+7\right)$$

Scoateți termenul comun -y+7 prin utilizarea proprietății de distributivitate.

$$\left(-y+7\right)\left(4y-9\right)$$

Rescrieți expresia completă descompusă în factori.

$$4\left(-y+7\right)\left(4y-9\right)$$

Pași folosind formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea

Polinomul de gradul doi se poate descompune în factori folosind transformarea ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), unde x_{1} și x_{2} sunt soluțiile ecuației de gradul doi ax^{2}+bx+c=0.

$$-16y^{2}+148y-252=0$$

Toate ecuațiile de forma ax^{2}+bx+c=0 pot fi rezolvate utilizând formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea oferă două soluții, una atunci când operația ± este de adunare și una atunci când este de scădere.

$$y=\frac{-148±\sqrt{148^{2}-4\left(-16\right)\left(-252\right)}}{2\left(-16\right)}$$

Ridicați 148 la pătrat.

$$y=\frac{-148±\sqrt{21904-4\left(-16\right)\left(-252\right)}}{2\left(-16\right)}$$

Înmulțiți -4 cu -16.

$$y=\frac{-148±\sqrt{21904+64\left(-252\right)}}{2\left(-16\right)}$$

Înmulțiți 64 cu -252.

$$y=\frac{-148±\sqrt{21904-16128}}{2\left(-16\right)}$$

Adunați 21904 cu -16128.

$$y=\frac{-148±\sqrt{5776}}{2\left(-16\right)}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru 5776.

$$y=\frac{-148±76}{2\left(-16\right)}$$

Înmulțiți 2 cu -16.

$$y=\frac{-148±76}{-32}$$

Acum rezolvați ecuația y=\frac{-148±76}{-32} atunci când ± este plus. Adunați -148 cu 76.

$$y=-\frac{72}{-32}$$

Reduceți fracția \frac{-72}{-32} la cei mai mici termeni, prin extragerea și reducerea 8.

$$y=\frac{9}{4}$$

Acum rezolvați ecuația y=\frac{-148±76}{-32} atunci când ± este minus. Scădeți 76 din -148.

$$y=-\frac{224}{-32}$$

Împărțiți -224 la -32.

$$y=7$$

Descompuneți în factori expresia inițială utilizând ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right). Înlocuiți x_{1} cu \frac{9}{4} și x_{2} cu 7.

$$-16y^{2}+148y-252=-16\left(y-\frac{9}{4}\right)\left(y-7\right)$$

Scădeți \frac{9}{4} din y găsind un numitor comun și scăzând numărătorii. Apoi simplificați fracția până devine ireductibilă, dacă este posibil.

$$-16y^{2}+148y-252=-16\times \frac{-4y+9}{-4}\left(y-7\right)$$

Simplificați cu 4, cel mai mare factor comun din -16 și 4.

$$-16y^{2}+148y-252=4\left(-4y+9\right)\left(y-7\right)$$

Evaluați

$$-16y^{2}+148y-252$$