Rezolvați -16x^2-4x+382=0

$$-16 { x }^{ 2 } -4x+382=0$$

Rezolvați pentru x

$$x = \frac{\sqrt{1529} - 1}{8} \approx 4.762803699$$

$$x=\frac{-\sqrt{1529}-1}{8}\approx -5.012803699$$

Pași folosind formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea

Toate ecuațiile de forma ax^{2}+bx+c=0 pot fi rezolvate utilizând formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea oferă două soluții, una atunci când operația ± este de adunare și una atunci când este de scădere.

$$-16x^{2}-4x+382=0$$

Această ecuație este în formă standard: ax^{2}+bx+c=0. Înlocuiți a cu -16, b cu -4 și c cu 382 în formula rădăcinilor ecuațiilor de gradul al doilea, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{\left(-4\right)^{2}-4\left(-16\right)\times 382}}{2\left(-16\right)}$$

Ridicați -4 la pătrat.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16-4\left(-16\right)\times 382}}{2\left(-16\right)}$$

Înmulțiți -4 cu -16.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16+64\times 382}}{2\left(-16\right)}$$

Înmulțiți 64 cu 382.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16+24448}}{2\left(-16\right)}$$

Adunați 16 cu 24448.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{24464}}{2\left(-16\right)}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru 24464.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±4\sqrt{1529}}{2\left(-16\right)}$$

Opusul lui -4 este 4.

$$x=\frac{4±4\sqrt{1529}}{2\left(-16\right)}$$

Înmulțiți 2 cu -16.

$$x=\frac{4±4\sqrt{1529}}{-32}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{4±4\sqrt{1529}}{-32} atunci când ± este plus. Adunați 4 cu 4\sqrt{1529}.

$$x=\frac{4\sqrt{1529}+4}{-32}$$

Împărțiți 4+4\sqrt{1529} la -32.

$$x=\frac{-\sqrt{1529}-1}{8}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{4±4\sqrt{1529}}{-32} atunci când ± este minus. Scădeți 4\sqrt{1529} din 4.

$$x=\frac{4-4\sqrt{1529}}{-32}$$

Împărțiți 4-4\sqrt{1529} la -32.

$$x=\frac{\sqrt{1529}-1}{8}$$

Ecuația este rezolvată acum.

$$x=\frac{-\sqrt{1529}-1}{8} x=\frac{\sqrt{1529}-1}{8}$$

Pași pentru completarea pătratului

Ecuațiile de gradul doi ca aceasta pot fi rezolvate prin completarea pătratului. Pentru a completa pătratul, ecuația trebuie mai întâi să fie sub forma x^{2}+bx=c.

$$-16x^{2}-4x+382=0$$

Scădeți 382 din ambele părți ale ecuației.

$$-16x^{2}-4x+382-382=-382$$

Scăderea 382 din el însuși are ca rezultat 0.

$$-16x^{2}-4x=-382$$

Se împart ambele părți la -16.

$$\frac{-16x^{2}-4x}{-16}=-\frac{382}{-16}$$

Împărțirea la -16 anulează înmulțirea cu -16.

$$x^{2}+\left(-\frac{4}{-16}\right)x=-\frac{382}{-16}$$

Reduceți fracția \frac{-4}{-16} la cei mai mici termeni, prin extragerea și reducerea 4.

$$x^{2}+\frac{1}{4}x=-\frac{382}{-16}$$

Reduceți fracția \frac{-382}{-16} la cei mai mici termeni, prin extragerea și reducerea 2.

$$x^{2}+\frac{1}{4}x=\frac{191}{8}$$

Împărțiți \frac{1}{4}, coeficientul termenului x, la 2 pentru a obține \frac{1}{8}. Apoi, adunați pătratul lui \frac{1}{8} la ambele părți ale ecuației. Acest pas face din partea stângă a ecuației un pătrat perfect.

$$x^{2}+\frac{1}{4}x+\left(\frac{1}{8}\right)^{2}=\frac{191}{8}+\left(\frac{1}{8}\right)^{2}$$

Ridicați \frac{1}{8} la pătrat, calculând pătratul pentru numărătorul și numitorul fracției.

$$x^{2}+\frac{1}{4}x+\frac{1}{64}=\frac{191}{8}+\frac{1}{64}$$

Adunați \frac{191}{8} cu \frac{1}{64} găsind un numitor comun și adunând numărătorii. Apoi simplificați fracția până devine ireductibilă, dacă este posibil.

$$x^{2}+\frac{1}{4}x+\frac{1}{64}=\frac{1529}{64}$$

Factorul x^{2}+\frac{1}{4}x+\frac{1}{64}. În general, când x^{2}+bx+c este un pătrat perfect, acesta poate fi descompus întotdeauna în factori ca \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{1}{8}\right)^{2}=\frac{1529}{64}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru ambele părți ale ecuației.

$$\sqrt{\left(x+\frac{1}{8}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{1529}{64}}$$

Simplificați.

$$x+\frac{1}{8}=\frac{\sqrt{1529}}{8} x+\frac{1}{8}=-\frac{\sqrt{1529}}{8}$$

Scădeți \frac{1}{8} din ambele părți ale ecuației.

$$x=\frac{\sqrt{1529}-1}{8} x=\frac{-\sqrt{1529}-1}{8}$$