Rezolvați -144x^2+9x-9=0

$$-144 { x }^{ 2 } +9x-9 = 0$$

Rezolvați pentru x (complex solution)

$$x=\frac{1+3\sqrt{7}i}{32}\approx 0,03125+0,248039185i$$

$$x=\frac{-3\sqrt{7}i+1}{32}\approx 0,03125-0,248039185i$$

Pași folosind formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea

Toate ecuațiile de forma ax^{2}+bx+c=0 pot fi rezolvate utilizând formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea oferă două soluții, una atunci când operația ± este de adunare și una atunci când este de scădere.

$$-144x^{2}+9x-9=0$$

Această ecuație este în formă standard: ax^{2}+bx+c=0. Înlocuiți a cu -144, b cu 9 și c cu -9 în formula rădăcinilor ecuațiilor de gradul al doilea, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-9±\sqrt{9^{2}-4\left(-144\right)\left(-9\right)}}{2\left(-144\right)}$$

Ridicați 9 la pătrat.

$$x=\frac{-9±\sqrt{81-4\left(-144\right)\left(-9\right)}}{2\left(-144\right)}$$

Înmulțiți -4 cu -144.

$$x=\frac{-9±\sqrt{81+576\left(-9\right)}}{2\left(-144\right)}$$

Înmulțiți 576 cu -9.

$$x=\frac{-9±\sqrt{81-5184}}{2\left(-144\right)}$$

Adunați 81 cu -5184.

$$x=\frac{-9±\sqrt{-5103}}{2\left(-144\right)}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru -5103.

$$x=\frac{-9±27\sqrt{7}i}{2\left(-144\right)}$$

Înmulțiți 2 cu -144.

$$x=\frac{-9±27\sqrt{7}i}{-288}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{-9±27\sqrt{7}i}{-288} atunci când ± este plus. Adunați -9 cu 27i\sqrt{7}.

$$x=\frac{-9+27\sqrt{7}i}{-288}$$

Împărțiți -9+27i\sqrt{7} la -288.

$$x=\frac{-3\sqrt{7}i+1}{32}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{-9±27\sqrt{7}i}{-288} atunci când ± este minus. Scădeți 27i\sqrt{7} din -9.

$$x=\frac{-27\sqrt{7}i-9}{-288}$$

Împărțiți -9-27i\sqrt{7} la -288.

$$x=\frac{1+3\sqrt{7}i}{32}$$

Ecuația este rezolvată acum.

$$x=\frac{-3\sqrt{7}i+1}{32} x=\frac{1+3\sqrt{7}i}{32}$$

Pași pentru completarea pătratului

Ecuațiile de gradul doi ca aceasta pot fi rezolvate prin completarea pătratului. Pentru a completa pătratul, ecuația trebuie mai întâi să fie sub forma x^{2}+bx=c.

$$-144x^{2}+9x-9=0$$

Adunați 9 la ambele părți ale ecuației.

$$-144x^{2}+9x-9-\left(-9\right)=-\left(-9\right)$$

Scăderea -9 din el însuși are ca rezultat 0.

$$-144x^{2}+9x=-\left(-9\right)$$

Scădeți -9 din 0.

$$-144x^{2}+9x=9$$

Se împart ambele părți la -144.

$$\frac{-144x^{2}+9x}{-144}=\frac{9}{-144}$$

Împărțirea la -144 anulează înmulțirea cu -144.

$$x^{2}+\frac{9}{-144}x=\frac{9}{-144}$$

Reduceți fracția \frac{9}{-144} la cei mai mici termeni, prin extragerea și reducerea 9.

$$x^{2}-\frac{1}{16}x=\frac{9}{-144}$$

Reduceți fracția \frac{9}{-144} la cei mai mici termeni, prin extragerea și reducerea 9.

$$x^{2}-\frac{1}{16}x=-\frac{1}{16}$$

Împărțiți -\frac{1}{16}, coeficientul termenului x, la 2 pentru a obține -\frac{1}{32}. Apoi, adunați pătratul lui -\frac{1}{32} la ambele părți ale ecuației. Acest pas face din partea stângă a ecuației un pătrat perfect.

$$x^{2}-\frac{1}{16}x+\left(-\frac{1}{32}\right)^{2}=-\frac{1}{16}+\left(-\frac{1}{32}\right)^{2}$$

Ridicați -\frac{1}{32} la pătrat, calculând pătratul pentru numărătorul și numitorul fracției.

$$x^{2}-\frac{1}{16}x+\frac{1}{1024}=-\frac{1}{16}+\frac{1}{1024}$$

Adunați -\frac{1}{16} cu \frac{1}{1024} găsind un numitor comun și adunând numărătorii. Apoi simplificați fracția până devine ireductibilă, dacă este posibil.

$$x^{2}-\frac{1}{16}x+\frac{1}{1024}=-\frac{63}{1024}$$

Factor x^{2}-\frac{1}{16}x+\frac{1}{1024}. În general, atunci când x^{2}+bx+c este un pătrat perfect, el poate fi descompus în factori oricând ca \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{1}{32}\right)^{2}=-\frac{63}{1024}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru ambele părți ale ecuației.

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{32}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{63}{1024}}$$

Simplificați.

$$x-\frac{1}{32}=\frac{3\sqrt{7}i}{32} x-\frac{1}{32}=-\frac{3\sqrt{7}i}{32}$$

Adunați \frac{1}{32} la ambele părți ale ecuației.

$$x=\frac{1+3\sqrt{7}i}{32} x=\frac{-3\sqrt{7}i+1}{32}$$