Rezolvați -x^2-x-1=0

$$- x ^ { 2 } - x - 1 = 0$$

Rezolvați pentru x (complex solution)

$$x=\frac{-\sqrt{3}i-1}{2}\approx -0,5-0,866025404i$$

$$x=\frac{-1+\sqrt{3}i}{2}\approx -0,5+0,866025404i$$

Pași folosind formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea

Toate ecuațiile de forma ax^{2}+bx+c=0 pot fi rezolvate utilizând formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea oferă două soluții, una atunci când operația ± este de adunare și una atunci când este de scădere.

$$-x^{2}-x-1=0$$

Această ecuație este în formă standard: ax^{2}+bx+c=0. Înlocuiți a cu -1, b cu -1 și c cu -1 în formula rădăcinilor ecuațiilor de gradul al doilea, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1-4\left(-1\right)\left(-1\right)}}{2\left(-1\right)}$$

Înmulțiți -4 cu -1.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1+4\left(-1\right)}}{2\left(-1\right)}$$

Înmulțiți 4 cu -1.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1-4}}{2\left(-1\right)}$$

Adunați 1 cu -4.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{-3}}{2\left(-1\right)}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru -3.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{3}i}{2\left(-1\right)}$$

Opusul lui -1 este 1.

$$x=\frac{1±\sqrt{3}i}{2\left(-1\right)}$$

Înmulțiți 2 cu -1.

$$x=\frac{1±\sqrt{3}i}{-2}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{1±\sqrt{3}i}{-2} atunci când ± este plus. Adunați 1 cu i\sqrt{3}.

$$x=\frac{1+\sqrt{3}i}{-2}$$

Împărțiți 1+i\sqrt{3} la -2.

$$x=\frac{-\sqrt{3}i-1}{2}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{1±\sqrt{3}i}{-2} atunci când ± este minus. Scădeți i\sqrt{3} din 1.

$$x=\frac{-\sqrt{3}i+1}{-2}$$

Împărțiți 1-i\sqrt{3} la -2.

$$x=\frac{-1+\sqrt{3}i}{2}$$

Ecuația este rezolvată acum.

$$x=\frac{-\sqrt{3}i-1}{2} x=\frac{-1+\sqrt{3}i}{2}$$

Pași pentru completarea pătratului

Ecuațiile de gradul doi ca aceasta pot fi rezolvate prin completarea pătratului. Pentru a completa pătratul, ecuația trebuie mai întâi să fie sub forma x^{2}+bx=c.

$$-x^{2}-x-1=0$$

Adunați 1 la ambele părți ale ecuației.

$$-x^{2}-x-1-\left(-1\right)=-\left(-1\right)$$

Scăderea -1 din el însuși are ca rezultat 0.

$$-x^{2}-x=-\left(-1\right)$$

Scădeți -1 din 0.

$$-x^{2}-x=1$$

Se împart ambele părți la -1.

$$\frac{-x^{2}-x}{-1}=\frac{1}{-1}$$

Împărțirea la -1 anulează înmulțirea cu -1.

$$x^{2}+\left(-\frac{1}{-1}\right)x=\frac{1}{-1}$$

Împărțiți -1 la -1.

$$x^{2}+x=\frac{1}{-1}$$

Împărțiți 1 la -1.

$$x^{2}+x=-1$$

Împărțiți 1, coeficientul termenului x, la 2 pentru a obține \frac{1}{2}. Apoi, adunați pătratul lui \frac{1}{2} la ambele părți ale ecuației. Acest pas face din partea stângă a ecuației un pătrat perfect.

$$x^{2}+x+\left(\frac{1}{2}\right)^{2}=-1+\left(\frac{1}{2}\right)^{2}$$

Ridicați \frac{1}{2} la pătrat, calculând pătratul pentru numărătorul și numitorul fracției.

$$x^{2}+x+\frac{1}{4}=-1+\frac{1}{4}$$

Adunați -1 cu \frac{1}{4}.

$$x^{2}+x+\frac{1}{4}=-\frac{3}{4}$$

Factorul x^{2}+x+\frac{1}{4}. În general, când x^{2}+bx+c este un pătrat perfect, acesta poate fi descompus întotdeauna în factori ca \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{1}{2}\right)^{2}=-\frac{3}{4}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru ambele părți ale ecuației.

$$\sqrt{\left(x+\frac{1}{2}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{3}{4}}$$

Simplificați.

$$x+\frac{1}{2}=\frac{\sqrt{3}i}{2} x+\frac{1}{2}=-\frac{\sqrt{3}i}{2}$$

Scădeți \frac{1}{2} din ambele părți ale ecuației.

$$x=\frac{-1+\sqrt{3}i}{2} x=\frac{-\sqrt{3}i-1}{2}$$