Rezolvați -x^2+8x+47=0

$$- x ^ { 2 } + 8 x + 47 = 0$$

Rezolvați pentru x

$$x=3\sqrt{7}+4\approx 11,937253933$$

$$x=4-3\sqrt{7}\approx -3,937253933$$

Pași folosind formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea

Toate ecuațiile de forma ax^{2}+bx+c=0 pot fi rezolvate utilizând formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea oferă două soluții, una atunci când operația ± este de adunare și una atunci când este de scădere.

$$-x^{2}+8x+47=0$$

Această ecuație este în formă standard: ax^{2}+bx+c=0. Înlocuiți a cu -1, b cu 8 și c cu 47 în formula rădăcinilor ecuațiilor de gradul al doilea, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-8±\sqrt{8^{2}-4\left(-1\right)\times 47}}{2\left(-1\right)}$$

Ridicați 8 la pătrat.

$$x=\frac{-8±\sqrt{64-4\left(-1\right)\times 47}}{2\left(-1\right)}$$

Înmulțiți -4 cu -1.

$$x=\frac{-8±\sqrt{64+4\times 47}}{2\left(-1\right)}$$

Înmulțiți 4 cu 47.

$$x=\frac{-8±\sqrt{64+188}}{2\left(-1\right)}$$

Adunați 64 cu 188.

$$x=\frac{-8±\sqrt{252}}{2\left(-1\right)}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru 252.

$$x=\frac{-8±6\sqrt{7}}{2\left(-1\right)}$$

Înmulțiți 2 cu -1.

$$x=\frac{-8±6\sqrt{7}}{-2}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{-8±6\sqrt{7}}{-2} atunci când ± este plus. Adunați -8 cu 6\sqrt{7}.

$$x=\frac{6\sqrt{7}-8}{-2}$$

Împărțiți -8+6\sqrt{7} la -2.

$$x=4-3\sqrt{7}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{-8±6\sqrt{7}}{-2} atunci când ± este minus. Scădeți 6\sqrt{7} din -8.

$$x=\frac{-6\sqrt{7}-8}{-2}$$

Împărțiți -8-6\sqrt{7} la -2.

$$x=3\sqrt{7}+4$$

Ecuația este rezolvată acum.

$$x=4-3\sqrt{7} x=3\sqrt{7}+4$$

Pași pentru completarea pătratului

Ecuațiile de gradul doi ca aceasta pot fi rezolvate prin completarea pătratului. Pentru a completa pătratul, ecuația trebuie mai întâi să fie sub forma x^{2}+bx=c.

$$-x^{2}+8x+47=0$$

Scădeți 47 din ambele părți ale ecuației.

$$-x^{2}+8x+47-47=-47$$

Scăderea 47 din el însuși are ca rezultat 0.

$$-x^{2}+8x=-47$$

Se împart ambele părți la -1.

$$\frac{-x^{2}+8x}{-1}=-\frac{47}{-1}$$

Împărțirea la -1 anulează înmulțirea cu -1.

$$x^{2}+\frac{8}{-1}x=-\frac{47}{-1}$$

Împărțiți 8 la -1.

$$x^{2}-8x=-\frac{47}{-1}$$

Împărțiți -47 la -1.

$$x^{2}-8x=47$$

Împărțiți -8, coeficientul termenului x, la 2 pentru a obține -4. Apoi, adunați pătratul lui -4 la ambele părți ale ecuației. Acest pas face din partea stângă a ecuației un pătrat perfect.

$$x^{2}-8x+\left(-4\right)^{2}=47+\left(-4\right)^{2}$$

Ridicați -4 la pătrat.

$$x^{2}-8x+16=47+16$$

Adunați 47 cu 16.

$$x^{2}-8x+16=63$$

Factor x^{2}-8x+16. În general, atunci când x^{2}+bx+c este un pătrat perfect, el poate fi descompus în factori oricând ca \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-4\right)^{2}=63$$

Aflați rădăcina pătrată pentru ambele părți ale ecuației.

$$\sqrt{\left(x-4\right)^{2}}=\sqrt{63}$$

Simplificați.

$$x-4=3\sqrt{7} x-4=-3\sqrt{7}$$

Adunați 4 la ambele părți ale ecuației.

$$x=3\sqrt{7}+4 x=4-3\sqrt{7}$$