Rezolvați -x^2+7x-10=0

$$- x ^ { 2 } + 7 x - 10 = 0$$

Rezolvați pentru x

$$x=2$$

$$x=5$$

Pași utilizând descompunerea în factori prin grupare

Pentru a rezolva ecuația, descompuneți în factori partea stângă prin grupare. În primul rând, partea stângă trebuie să fie rescrisă ca -x^{2}+ax+bx-10. Pentru a găsi a și b, configurați un sistem care să fie rezolvat.

$$a+b=7 ab=-\left(-10\right)=10$$

Deoarece ab este pozitiv, a și b au același semn. Deoarece a+b este pozitiv, a și b sunt pozitive. Enumerați toate perechile întregi care oferă 10 de produs.

$$1,10 2,5$$

Calculați suma pentru fiecare pereche.

$$1+10=11 2+5=7$$

Soluția este perechea care dă suma de 7.

$$a=5 b=2$$

Rescrieți -x^{2}+7x-10 ca \left(-x^{2}+5x\right)+\left(2x-10\right).

$$\left(-x^{2}+5x\right)+\left(2x-10\right)$$

Scoateți scoateți factorul -x din primul și 2 din cel de-al doilea grup.

$$-x\left(x-5\right)+2\left(x-5\right)$$

Scoateți termenul comun x-5 prin utilizarea proprietății de distributivitate.

$$\left(x-5\right)\left(-x+2\right)$$

Pentru a găsi soluții de ecuație, rezolvați x-5=0 și -x+2=0.

$$x=5 x=2$$

Pași folosind formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea

Toate ecuațiile de forma ax^{2}+bx+c=0 pot fi rezolvate utilizând formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea oferă două soluții, una atunci când operația ± este de adunare și una atunci când este de scădere.

$$-x^{2}+7x-10=0$$

Această ecuație este în formă standard: ax^{2}+bx+c=0. Înlocuiți a cu -1, b cu 7 și c cu -10 în formula rădăcinilor ecuațiilor de gradul al doilea, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-7±\sqrt{7^{2}-4\left(-1\right)\left(-10\right)}}{2\left(-1\right)}$$

Ridicați 7 la pătrat.

$$x=\frac{-7±\sqrt{49-4\left(-1\right)\left(-10\right)}}{2\left(-1\right)}$$

Înmulțiți -4 cu -1.

$$x=\frac{-7±\sqrt{49+4\left(-10\right)}}{2\left(-1\right)}$$

Înmulțiți 4 cu -10.

$$x=\frac{-7±\sqrt{49-40}}{2\left(-1\right)}$$

Adunați 49 cu -40.

$$x=\frac{-7±\sqrt{9}}{2\left(-1\right)}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru 9.

$$x=\frac{-7±3}{2\left(-1\right)}$$

Înmulțiți 2 cu -1.

$$x=\frac{-7±3}{-2}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{-7±3}{-2} atunci când ± este plus. Adunați -7 cu 3.

$$x=-\frac{4}{-2}$$

Împărțiți -4 la -2.

$$x=2$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{-7±3}{-2} atunci când ± este minus. Scădeți 3 din -7.

$$x=-\frac{10}{-2}$$

Împărțiți -10 la -2.

$$x=5$$

Ecuația este rezolvată acum.

$$x=2 x=5$$

Pași pentru completarea pătratului

Ecuațiile de gradul doi ca aceasta pot fi rezolvate prin completarea pătratului. Pentru a completa pătratul, ecuația trebuie mai întâi să fie sub forma x^{2}+bx=c.

$$-x^{2}+7x-10=0$$

Adunați 10 la ambele părți ale ecuației.

$$-x^{2}+7x-10-\left(-10\right)=-\left(-10\right)$$

Scăderea -10 din el însuși are ca rezultat 0.

$$-x^{2}+7x=-\left(-10\right)$$

Scădeți -10 din 0.

$$-x^{2}+7x=10$$

Se împart ambele părți la -1.

$$\frac{-x^{2}+7x}{-1}=\frac{10}{-1}$$

Împărțirea la -1 anulează înmulțirea cu -1.

$$x^{2}+\frac{7}{-1}x=\frac{10}{-1}$$

Împărțiți 7 la -1.

$$x^{2}-7x=\frac{10}{-1}$$

Împărțiți 10 la -1.

$$x^{2}-7x=-10$$

Împărțiți -7, coeficientul termenului x, la 2 pentru a obține -\frac{7}{2}. Apoi, adunați pătratul lui -\frac{7}{2} la ambele părți ale ecuației. Acest pas face din partea stângă a ecuației un pătrat perfect.

$$x^{2}-7x+\left(-\frac{7}{2}\right)^{2}=-10+\left(-\frac{7}{2}\right)^{2}$$

Ridicați -\frac{7}{2} la pătrat, calculând pătratul pentru numărătorul și numitorul fracției.

$$x^{2}-7x+\frac{49}{4}=-10+\frac{49}{4}$$

Adunați -10 cu \frac{49}{4}.

$$x^{2}-7x+\frac{49}{4}=\frac{9}{4}$$

Factorul x^{2}-7x+\frac{49}{4}. În general, când x^{2}+bx+c este un pătrat perfect, acesta poate fi descompus întotdeauna în factori ca \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{7}{2}\right)^{2}=\frac{9}{4}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru ambele părți ale ecuației.

$$\sqrt{\left(x-\frac{7}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{9}{4}}$$

Simplificați.

$$x-\frac{7}{2}=\frac{3}{2} x-\frac{7}{2}=-\frac{3}{2}$$

Adunați \frac{7}{2} la ambele părți ale ecuației.

$$x=5 x=2$$