Rezolvați -x^2+2x+15=0

$$- x ^ { 2 } + 2 x + 15 = 0$$

Rezolvați pentru x

$$x=-3$$

$$x=5$$

Pași utilizând descompunerea în factori prin grupare

Pentru a rezolva ecuația, factor mâna stângă după grupare. Mai întâi, fața la stânga trebuie să fie rescrisă ca -x^{2}+ax+bx+15. Pentru a găsi a și b, configurați un sistem pentru a fi rezolvat.

$$a+b=2 ab=-15=-15$$

Deoarece ab este negativ, a și b au semne opuse. Deoarece a+b este pozitiv, numărul pozitiv are o valoare absolută mai mare decât valoarea negativă. Listează toate perechi de valori întregi care oferă produse -15.

$$-1,15 -3,5$$

Calculați suma pentru fiecare pereche.

$$-1+15=14 -3+5=2$$

Soluția este perechea care dă suma de 2.

$$a=5 b=-3$$

Rescrieți -x^{2}+2x+15 ca \left(-x^{2}+5x\right)+\left(-3x+15\right).

$$\left(-x^{2}+5x\right)+\left(-3x+15\right)$$

Factor -x în primul și -3 în al doilea grup.

$$-x\left(x-5\right)-3\left(x-5\right)$$

Scoateți termenul comun x-5 prin utilizarea proprietății de distributivitate.

$$\left(x-5\right)\left(-x-3\right)$$

Pentru a găsi soluții de ecuații, rezolvați x-5=0 și -x-3=0.

$$x=5 x=-3$$

Pași folosind formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea

Toate ecuațiile de forma ax^{2}+bx+c=0 pot fi rezolvate utilizând formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea oferă două soluții, una atunci când operația ± este de adunare și una atunci când este de scădere.

$$-x^{2}+2x+15=0$$

Această ecuație este în formă standard: ax^{2}+bx+c=0. Înlocuiți a cu -1, b cu 2 și c cu 15 în formula rădăcinilor ecuațiilor de gradul al doilea, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-2±\sqrt{2^{2}-4\left(-1\right)\times 15}}{2\left(-1\right)}$$

Ridicați 2 la pătrat.

$$x=\frac{-2±\sqrt{4-4\left(-1\right)\times 15}}{2\left(-1\right)}$$

Înmulțiți -4 cu -1.

$$x=\frac{-2±\sqrt{4+4\times 15}}{2\left(-1\right)}$$

Înmulțiți 4 cu 15.

$$x=\frac{-2±\sqrt{4+60}}{2\left(-1\right)}$$

Adunați 4 cu 60.

$$x=\frac{-2±\sqrt{64}}{2\left(-1\right)}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru 64.

$$x=\frac{-2±8}{2\left(-1\right)}$$

Înmulțiți 2 cu -1.

$$x=\frac{-2±8}{-2}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{-2±8}{-2} atunci când ± este plus. Adunați -2 cu 8.

$$x=\frac{6}{-2}$$

Împărțiți 6 la -2.

$$x=-3$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{-2±8}{-2} atunci când ± este minus. Scădeți 8 din -2.

$$x=-\frac{10}{-2}$$

Împărțiți -10 la -2.

$$x=5$$

Ecuația este rezolvată acum.

$$x=-3 x=5$$

Pași pentru completarea pătratului

Ecuațiile de gradul doi ca aceasta pot fi rezolvate prin completarea pătratului. Pentru a completa pătratul, ecuația trebuie mai întâi să fie sub forma x^{2}+bx=c.

$$-x^{2}+2x+15=0$$

Scădeți 15 din ambele părți ale ecuației.

$$-x^{2}+2x+15-15=-15$$

Scăderea 15 din el însuși are ca rezultat 0.

$$-x^{2}+2x=-15$$

Se împart ambele părți la -1.

$$\frac{-x^{2}+2x}{-1}=-\frac{15}{-1}$$

Împărțirea la -1 anulează înmulțirea cu -1.

$$x^{2}+\frac{2}{-1}x=-\frac{15}{-1}$$

Împărțiți 2 la -1.

$$x^{2}-2x=-\frac{15}{-1}$$

Împărțiți -15 la -1.

$$x^{2}-2x=15$$

Împărțiți -2, coeficientul termenului x, la 2 pentru a obține -1. Apoi, adunați pătratul lui -1 la ambele părți ale ecuației. Acest pas face din partea stângă a ecuației un pătrat perfect.

$$x^{2}-2x+1=15+1$$

Adunați 15 cu 1.

$$x^{2}-2x+1=16$$

Factor x^{2}-2x+1. În general, atunci când x^{2}+bx+c este un pătrat perfect, el poate fi descompus în factori oricând ca \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-1\right)^{2}=16$$

Aflați rădăcina pătrată pentru ambele părți ale ecuației.

$$\sqrt{\left(x-1\right)^{2}}=\sqrt{16}$$

Simplificați.

$$x-1=4 x-1=-4$$

Adunați 1 la ambele părți ale ecuației.

$$x=5 x=-3$$