Rezolvați -x^2+14x-13=2x^2+6x-18-6x

$$- x ^ { 2 } + 14 x - 13 = 2 x ^ { 2 } + 6 x - 18 - 6 x$$

Rezolvați pentru x

$$x=5$$

$$x=-\frac{1}{3}\approx -0,333333333$$

Pași utilizând descompunerea în factori prin grupare

Combinați 6x cu -6x pentru a obține 0.

$$-x^{2}+14x-13=2x^{2}-18$$

Scădeți 2x^{2} din ambele părți.

$$-x^{2}+14x-13-2x^{2}=-18$$

Adăugați 18 la ambele părți.

$$-x^{2}+14x-13-2x^{2}+18=0$$

Adunați -13 și 18 pentru a obține 5.

$$-x^{2}+14x+5-2x^{2}=0$$

Combinați -x^{2} cu -2x^{2} pentru a obține -3x^{2}.

$$-3x^{2}+14x+5=0$$

Pentru a rezolva ecuația, factor mâna stângă după grupare. Mai întâi, fața la stânga trebuie să fie rescrisă ca -3x^{2}+ax+bx+5. Pentru a găsi a și b, configurați un sistem pentru a fi rezolvat.

$$a+b=14 ab=-3\times 5=-15$$

Deoarece ab este negativ, a și b au semne opuse. Deoarece a+b este pozitiv, numărul pozitiv are o valoare absolută mai mare decât valoarea negativă. Listează toate perechi de valori întregi care oferă produse -15.

$$-1,15 -3,5$$

Calculați suma pentru fiecare pereche.

$$-1+15=14 -3+5=2$$

Soluția este perechea care dă suma de 14.

$$a=15 b=-1$$

Rescrieți -3x^{2}+14x+5 ca \left(-3x^{2}+15x\right)+\left(-x+5\right).

$$\left(-3x^{2}+15x\right)+\left(-x+5\right)$$

Scoateți factorul comun 3x din -3x^{2}+15x.

$$3x\left(-x+5\right)-x+5$$

Scoateți termenul comun -x+5 prin utilizarea proprietății de distributivitate.

$$\left(-x+5\right)\left(3x+1\right)$$

Pentru a găsi soluții de ecuații, rezolvați -x+5=0 și 3x+1=0.

$$x=5 x=-\frac{1}{3}$$

Pași folosind formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea

Combinați 6x cu -6x pentru a obține 0.

$$-x^{2}+14x-13=2x^{2}-18$$

Scădeți 2x^{2} din ambele părți.

$$-x^{2}+14x-13-2x^{2}=-18$$

Adăugați 18 la ambele părți.

$$-x^{2}+14x-13-2x^{2}+18=0$$

Adunați -13 și 18 pentru a obține 5.

$$-x^{2}+14x+5-2x^{2}=0$$

Combinați -x^{2} cu -2x^{2} pentru a obține -3x^{2}.

$$-3x^{2}+14x+5=0$$

Această ecuație este în formă standard: ax^{2}+bx+c=0. Înlocuiți a cu -3, b cu 14 și c cu 5 în formula rădăcinilor ecuațiilor de gradul al doilea, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-14±\sqrt{14^{2}-4\left(-3\right)\times 5}}{2\left(-3\right)}$$

Ridicați 14 la pătrat.

$$x=\frac{-14±\sqrt{196-4\left(-3\right)\times 5}}{2\left(-3\right)}$$

Înmulțiți -4 cu -3.

$$x=\frac{-14±\sqrt{196+12\times 5}}{2\left(-3\right)}$$

Înmulțiți 12 cu 5.

$$x=\frac{-14±\sqrt{196+60}}{2\left(-3\right)}$$

Adunați 196 cu 60.

$$x=\frac{-14±\sqrt{256}}{2\left(-3\right)}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru 256.

$$x=\frac{-14±16}{2\left(-3\right)}$$

Înmulțiți 2 cu -3.

$$x=\frac{-14±16}{-6}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{-14±16}{-6} atunci când ± este plus. Adunați -14 cu 16.

$$x=\frac{2}{-6}$$

Reduceți fracția \frac{2}{-6} la cei mai mici termeni, prin extragerea și reducerea 2.

$$x=-\frac{1}{3}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{-14±16}{-6} atunci când ± este minus. Scădeți 16 din -14.

$$x=-\frac{30}{-6}$$

Împărțiți -30 la -6.

$$x=5$$

Ecuația este rezolvată acum.

$$x=-\frac{1}{3} x=5$$

Pași pentru completarea pătratului

Combinați 6x cu -6x pentru a obține 0.

$$-x^{2}+14x-13=2x^{2}-18$$

Scădeți 2x^{2} din ambele părți.

$$-x^{2}+14x-13-2x^{2}=-18$$

Adăugați 13 la ambele părți.

$$-x^{2}+14x-2x^{2}=-18+13$$

Adunați -18 și 13 pentru a obține -5.

$$-x^{2}+14x-2x^{2}=-5$$

Combinați -x^{2} cu -2x^{2} pentru a obține -3x^{2}.

$$-3x^{2}+14x=-5$$

Se împart ambele părți la -3.

$$\frac{-3x^{2}+14x}{-3}=-\frac{5}{-3}$$

Împărțirea la -3 anulează înmulțirea cu -3.

$$x^{2}+\frac{14}{-3}x=-\frac{5}{-3}$$

Împărțiți 14 la -3.

$$x^{2}-\frac{14}{3}x=-\frac{5}{-3}$$

Împărțiți -5 la -3.

$$x^{2}-\frac{14}{3}x=\frac{5}{3}$$

Împărțiți -\frac{14}{3}, coeficientul termenului x, la 2 pentru a obține -\frac{7}{3}. Apoi, adunați pătratul lui -\frac{7}{3} la ambele părți ale ecuației. Acest pas face din partea stângă a ecuației un pătrat perfect.

$$x^{2}-\frac{14}{3}x+\left(-\frac{7}{3}\right)^{2}=\frac{5}{3}+\left(-\frac{7}{3}\right)^{2}$$

Ridicați -\frac{7}{3} la pătrat, calculând pătratul pentru numărătorul și numitorul fracției.

$$x^{2}-\frac{14}{3}x+\frac{49}{9}=\frac{5}{3}+\frac{49}{9}$$

Adunați \frac{5}{3} cu \frac{49}{9} găsind un numitor comun și adunând numărătorii. Apoi simplificați fracția până devine ireductibilă, dacă este posibil.

$$x^{2}-\frac{14}{3}x+\frac{49}{9}=\frac{64}{9}$$

Factor x^{2}-\frac{14}{3}x+\frac{49}{9}. În general, atunci când x^{2}+bx+c este un pătrat perfect, el poate fi descompus în factori oricând ca \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{7}{3}\right)^{2}=\frac{64}{9}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru ambele părți ale ecuației.

$$\sqrt{\left(x-\frac{7}{3}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{64}{9}}$$

Simplificați.

$$x-\frac{7}{3}=\frac{8}{3} x-\frac{7}{3}=-\frac{8}{3}$$

Adunați \frac{7}{3} la ambele părți ale ecuației.

$$x=5 x=-\frac{1}{3}$$