Rezolvați -9x^2+18x+68=0

$$- 9 x ^ { 2 } + 18 x + 68 = 0$$

Rezolvați pentru x

$$x=\frac{\sqrt{77}}{3}+1\approx 3,924988129$$

$$x=-\frac{\sqrt{77}}{3}+1\approx -1,924988129$$

Pași folosind formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea

Toate ecuațiile de forma ax^{2}+bx+c=0 pot fi rezolvate utilizând formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea oferă două soluții, una atunci când operația ± este de adunare și una atunci când este de scădere.

$$-9x^{2}+18x+68=0$$

Această ecuație este în formă standard: ax^{2}+bx+c=0. Înlocuiți a cu -9, b cu 18 și c cu 68 în formula rădăcinilor ecuațiilor de gradul al doilea, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-18±\sqrt{18^{2}-4\left(-9\right)\times 68}}{2\left(-9\right)}$$

Ridicați 18 la pătrat.

$$x=\frac{-18±\sqrt{324-4\left(-9\right)\times 68}}{2\left(-9\right)}$$

Înmulțiți -4 cu -9.

$$x=\frac{-18±\sqrt{324+36\times 68}}{2\left(-9\right)}$$

Înmulțiți 36 cu 68.

$$x=\frac{-18±\sqrt{324+2448}}{2\left(-9\right)}$$

Adunați 324 cu 2448.

$$x=\frac{-18±\sqrt{2772}}{2\left(-9\right)}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru 2772.

$$x=\frac{-18±6\sqrt{77}}{2\left(-9\right)}$$

Înmulțiți 2 cu -9.

$$x=\frac{-18±6\sqrt{77}}{-18}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{-18±6\sqrt{77}}{-18} atunci când ± este plus. Adunați -18 cu 6\sqrt{77}.

$$x=\frac{6\sqrt{77}-18}{-18}$$

Împărțiți -18+6\sqrt{77} la -18.

$$x=-\frac{\sqrt{77}}{3}+1$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{-18±6\sqrt{77}}{-18} atunci când ± este minus. Scădeți 6\sqrt{77} din -18.

$$x=\frac{-6\sqrt{77}-18}{-18}$$

Împărțiți -18-6\sqrt{77} la -18.

$$x=\frac{\sqrt{77}}{3}+1$$

Ecuația este rezolvată acum.

$$x=-\frac{\sqrt{77}}{3}+1 x=\frac{\sqrt{77}}{3}+1$$

Pași pentru completarea pătratului

Ecuațiile de gradul doi ca aceasta pot fi rezolvate prin completarea pătratului. Pentru a completa pătratul, ecuația trebuie mai întâi să fie sub forma x^{2}+bx=c.

$$-9x^{2}+18x+68=0$$

Scădeți 68 din ambele părți ale ecuației.

$$-9x^{2}+18x+68-68=-68$$

Scăderea 68 din el însuși are ca rezultat 0.

$$-9x^{2}+18x=-68$$

Se împart ambele părți la -9.

$$\frac{-9x^{2}+18x}{-9}=-\frac{68}{-9}$$

Împărțirea la -9 anulează înmulțirea cu -9.

$$x^{2}+\frac{18}{-9}x=-\frac{68}{-9}$$

Împărțiți 18 la -9.

$$x^{2}-2x=-\frac{68}{-9}$$

Împărțiți -68 la -9.

$$x^{2}-2x=\frac{68}{9}$$

Împărțiți -2, coeficientul termenului x, la 2 pentru a obține -1. Apoi, adunați pătratul lui -1 la ambele părți ale ecuației. Acest pas face din partea stângă a ecuației un pătrat perfect.

$$x^{2}-2x+1=\frac{68}{9}+1$$

Adunați \frac{68}{9} cu 1.

$$x^{2}-2x+1=\frac{77}{9}$$

Factor x^{2}-2x+1. În general, atunci când x^{2}+bx+c este un pătrat perfect, el poate fi descompus în factori oricând ca \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-1\right)^{2}=\frac{77}{9}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru ambele părți ale ecuației.

$$\sqrt{\left(x-1\right)^{2}}=\sqrt{\frac{77}{9}}$$

Simplificați.

$$x-1=\frac{\sqrt{77}}{3} x-1=-\frac{\sqrt{77}}{3}$$

Adunați 1 la ambele părți ale ecuației.

$$x=\frac{\sqrt{77}}{3}+1 x=-\frac{\sqrt{77}}{3}+1$$