Rezolvați -9x=2(3x^2+4)+10x

$$- 9 x = 2 ( 3 x ^ { 2 } + 4 ) + 10 x$$

Rezolvați pentru x

$$x=-\frac{1}{2}=-0,5$$

$$x = -\frac{8}{3} = -2\frac{2}{3} \approx -2,666666667$$

Pași utilizând descompunerea în factori prin grupare

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți 2 cu 3x^{2}+4.

$$-9x=6x^{2}+8+10x$$

Scădeți 6x^{2} din ambele părți.

$$-9x-6x^{2}=8+10x$$

Scădeți 8 din ambele părți.

$$-9x-6x^{2}-8=10x$$

Scădeți 10x din ambele părți.

$$-9x-6x^{2}-8-10x=0$$

Combinați -9x cu -10x pentru a obține -19x.

$$-19x-6x^{2}-8=0$$

Rearanjați polinomul pentru a-l pune în formă standard. Plasați termenii în ordine de la cel mai mare la puterea minimă.

$$-6x^{2}-19x-8=0$$

Pentru a rezolva ecuația, factor mâna stângă după grupare. Mai întâi, fața la stânga trebuie să fie rescrisă ca -6x^{2}+ax+bx-8. Pentru a găsi a și b, configurați un sistem pentru a fi rezolvat.

$$a+b=-19 ab=-6\left(-8\right)=48$$

Deoarece ab este pozitiv, a și b au același semn. Deoarece a+b este negativ, a și b sunt negative. Listează toate perechi de valori întregi care oferă produse 48.

$$-1,-48 -2,-24 -3,-16 -4,-12 -6,-8$$

Calculați suma pentru fiecare pereche.

$$-1-48=-49 -2-24=-26 -3-16=-19 -4-12=-16 -6-8=-14$$

Soluția este perechea care dă suma de -19.

$$a=-3 b=-16$$

Rescrieți -6x^{2}-19x-8 ca \left(-6x^{2}-3x\right)+\left(-16x-8\right).

$$\left(-6x^{2}-3x\right)+\left(-16x-8\right)$$

Factor -3x în primul și -8 în al doilea grup.

$$-3x\left(2x+1\right)-8\left(2x+1\right)$$

Scoateți termenul comun 2x+1 prin utilizarea proprietății de distributivitate.

$$\left(2x+1\right)\left(-3x-8\right)$$

Pentru a găsi soluții de ecuații, rezolvați 2x+1=0 și -3x-8=0.

$$x=-\frac{1}{2} x=-\frac{8}{3}$$

Pași folosind formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți 2 cu 3x^{2}+4.

$$-9x=6x^{2}+8+10x$$

Scădeți 6x^{2} din ambele părți.

$$-9x-6x^{2}=8+10x$$

Scădeți 8 din ambele părți.

$$-9x-6x^{2}-8=10x$$

Scădeți 10x din ambele părți.

$$-9x-6x^{2}-8-10x=0$$

Combinați -9x cu -10x pentru a obține -19x.

$$-19x-6x^{2}-8=0$$

Toate ecuațiile de forma ax^{2}+bx+c=0 pot fi rezolvate utilizând formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea oferă două soluții, una atunci când operația ± este de adunare și una atunci când este de scădere.

$$-6x^{2}-19x-8=0$$

Această ecuație este în formă standard: ax^{2}+bx+c=0. Înlocuiți a cu -6, b cu -19 și c cu -8 în formula rădăcinilor ecuațiilor de gradul al doilea, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-19\right)±\sqrt{\left(-19\right)^{2}-4\left(-6\right)\left(-8\right)}}{2\left(-6\right)}$$

Ridicați -19 la pătrat.

$$x=\frac{-\left(-19\right)±\sqrt{361-4\left(-6\right)\left(-8\right)}}{2\left(-6\right)}$$

Înmulțiți -4 cu -6.

$$x=\frac{-\left(-19\right)±\sqrt{361+24\left(-8\right)}}{2\left(-6\right)}$$

Înmulțiți 24 cu -8.

$$x=\frac{-\left(-19\right)±\sqrt{361-192}}{2\left(-6\right)}$$

Adunați 361 cu -192.

$$x=\frac{-\left(-19\right)±\sqrt{169}}{2\left(-6\right)}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru 169.

$$x=\frac{-\left(-19\right)±13}{2\left(-6\right)}$$

Opusul lui -19 este 19.

$$x=\frac{19±13}{2\left(-6\right)}$$

Înmulțiți 2 cu -6.

$$x=\frac{19±13}{-12}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{19±13}{-12} atunci când ± este plus. Adunați 19 cu 13.

$$x=\frac{32}{-12}$$

Reduceți fracția \frac{32}{-12} la cei mai mici termeni, prin extragerea și reducerea 4.

$$x=-\frac{8}{3}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{19±13}{-12} atunci când ± este minus. Scădeți 13 din 19.

$$x=\frac{6}{-12}$$

Reduceți fracția \frac{6}{-12} la cei mai mici termeni, prin extragerea și reducerea 6.

$$x=-\frac{1}{2}$$

Ecuația este rezolvată acum.

$$x=-\frac{8}{3} x=-\frac{1}{2}$$

Pași pentru completarea pătratului

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți 2 cu 3x^{2}+4.

$$-9x=6x^{2}+8+10x$$

Scădeți 6x^{2} din ambele părți.

$$-9x-6x^{2}=8+10x$$

Scădeți 10x din ambele părți.

$$-9x-6x^{2}-10x=8$$

Combinați -9x cu -10x pentru a obține -19x.

$$-19x-6x^{2}=8$$

Ecuațiile de gradul doi ca aceasta pot fi rezolvate prin completarea pătratului. Pentru a completa pătratul, ecuația trebuie mai întâi să fie sub forma x^{2}+bx=c.

$$-6x^{2}-19x=8$$

Se împart ambele părți la -6.

$$\frac{-6x^{2}-19x}{-6}=\frac{8}{-6}$$

Împărțirea la -6 anulează înmulțirea cu -6.

$$x^{2}+\left(-\frac{19}{-6}\right)x=\frac{8}{-6}$$

Împărțiți -19 la -6.

$$x^{2}+\frac{19}{6}x=\frac{8}{-6}$$

Reduceți fracția \frac{8}{-6} la cei mai mici termeni, prin extragerea și reducerea 2.

$$x^{2}+\frac{19}{6}x=-\frac{4}{3}$$

Împărțiți \frac{19}{6}, coeficientul termenului x, la 2 pentru a obține \frac{19}{12}. Apoi, adunați pătratul lui \frac{19}{12} la ambele părți ale ecuației. Acest pas face din partea stângă a ecuației un pătrat perfect.

$$x^{2}+\frac{19}{6}x+\left(\frac{19}{12}\right)^{2}=-\frac{4}{3}+\left(\frac{19}{12}\right)^{2}$$

Ridicați \frac{19}{12} la pătrat, calculând pătratul pentru numărătorul și numitorul fracției.

$$x^{2}+\frac{19}{6}x+\frac{361}{144}=-\frac{4}{3}+\frac{361}{144}$$

Adunați -\frac{4}{3} cu \frac{361}{144} găsind un numitor comun și adunând numărătorii. Apoi simplificați fracția până devine ireductibilă, dacă este posibil.

$$x^{2}+\frac{19}{6}x+\frac{361}{144}=\frac{169}{144}$$

Factor x^{2}+\frac{19}{6}x+\frac{361}{144}. În general, atunci când x^{2}+bx+c este un pătrat perfect, el poate fi descompus în factori oricând ca \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{19}{12}\right)^{2}=\frac{169}{144}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru ambele părți ale ecuației.

$$\sqrt{\left(x+\frac{19}{12}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{169}{144}}$$

Simplificați.

$$x+\frac{19}{12}=\frac{13}{12} x+\frac{19}{12}=-\frac{13}{12}$$

Scădeți \frac{19}{12} din ambele părți ale ecuației.

$$x=-\frac{1}{2} x=-\frac{8}{3}$$