Rezolvați -8r^2+26r-15

$$- 8 r ^ { 2 } + 26 r - 15$$

Descompunere în factori

$$\left(3-4r\right)\left(2r-5\right)$$

Pașii soluției

Descompuneți expresia în factori prin grupare. Mai întâi, expresia trebuie să fie rescrisă ca -8r^{2}+ar+br-15. Pentru a găsi a și b, configurați un sistem pentru a fi rezolvat.

$$a+b=26 ab=-8\left(-15\right)=120$$

Deoarece ab este pozitiv, a și b au același semn. Deoarece a+b este pozitiv, a și b sunt ambele pozitive. Listează toate perechi de valori întregi care oferă produse 120.

$$1,120 2,60 3,40 4,30 5,24 6,20 8,15 10,12$$

Calculați suma pentru fiecare pereche.

$$1+120=121 2+60=62 3+40=43 4+30=34 5+24=29 6+20=26 8+15=23 10+12=22$$

Soluția este perechea care dă suma de 26.

$$a=20 b=6$$

Rescrieți -8r^{2}+26r-15 ca \left(-8r^{2}+20r\right)+\left(6r-15\right).

$$\left(-8r^{2}+20r\right)+\left(6r-15\right)$$

Factor -4r în primul și 3 în al doilea grup.

$$-4r\left(2r-5\right)+3\left(2r-5\right)$$

Scoateți termenul comun 2r-5 prin utilizarea proprietății de distributivitate.

$$\left(2r-5\right)\left(-4r+3\right)$$

Pași folosind formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea

Polinomul de gradul doi se poate descompune în factori folosind transformarea ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), unde x_{1} și x_{2} sunt soluțiile ecuației de gradul doi ax^{2}+bx+c=0.

$$-8r^{2}+26r-15=0$$

Toate ecuațiile de forma ax^{2}+bx+c=0 pot fi rezolvate utilizând formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea oferă două soluții, una atunci când operația ± este de adunare și una atunci când este de scădere.

$$r=\frac{-26±\sqrt{26^{2}-4\left(-8\right)\left(-15\right)}}{2\left(-8\right)}$$

Ridicați 26 la pătrat.

$$r=\frac{-26±\sqrt{676-4\left(-8\right)\left(-15\right)}}{2\left(-8\right)}$$

Înmulțiți -4 cu -8.

$$r=\frac{-26±\sqrt{676+32\left(-15\right)}}{2\left(-8\right)}$$

Înmulțiți 32 cu -15.

$$r=\frac{-26±\sqrt{676-480}}{2\left(-8\right)}$$

Adunați 676 cu -480.

$$r=\frac{-26±\sqrt{196}}{2\left(-8\right)}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru 196.

$$r=\frac{-26±14}{2\left(-8\right)}$$

Înmulțiți 2 cu -8.

$$r=\frac{-26±14}{-16}$$

Acum rezolvați ecuația r=\frac{-26±14}{-16} atunci când ± este plus. Adunați -26 cu 14.

$$r=-\frac{12}{-16}$$

Reduceți fracția \frac{-12}{-16} la cei mai mici termeni, prin extragerea și reducerea 4.

$$r=\frac{3}{4}$$

Acum rezolvați ecuația r=\frac{-26±14}{-16} atunci când ± este minus. Scădeți 14 din -26.

$$r=-\frac{40}{-16}$$

Reduceți fracția \frac{-40}{-16} la cei mai mici termeni, prin extragerea și reducerea 8.

$$r=\frac{5}{2}$$

Descompuneți în factori expresia inițială utilizând ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right). Înlocuiți x_{1} cu \frac{3}{4} și x_{2} cu \frac{5}{2}.

$$-8r^{2}+26r-15=-8\left(r-\frac{3}{4}\right)\left(r-\frac{5}{2}\right)$$

Scădeți \frac{3}{4} din r găsind un numitor comun și scăzând numărătorii. Apoi simplificați fracția până devine ireductibilă, dacă este posibil.

$$-8r^{2}+26r-15=-8\times \frac{-4r+3}{-4}\left(r-\frac{5}{2}\right)$$

Scădeți \frac{5}{2} din r găsind un numitor comun și scăzând numărătorii. Apoi simplificați fracția până devine ireductibilă, dacă este posibil.

$$-8r^{2}+26r-15=-8\times \frac{-4r+3}{-4}\times \frac{-2r+5}{-2}$$

Înmulțiți \frac{-4r+3}{-4} cu \frac{-2r+5}{-2} prin înmulțirea valorilor de la numărător și a valorilor de la numitor. Apoi simplificați fracția până devine ireductibilă, dacă este posibil.

$$-8r^{2}+26r-15=-8\times \frac{\left(-4r+3\right)\left(-2r+5\right)}{-4\left(-2\right)}$$

Înmulțiți -4 cu -2.

$$-8r^{2}+26r-15=-8\times \frac{\left(-4r+3\right)\left(-2r+5\right)}{8}$$

Simplificați cu 8, cel mai mare factor comun din -8 și 8.

$$-8r^{2}+26r-15=-\left(-4r+3\right)\left(-2r+5\right)$$

Evaluați

$$\left(3-4r\right)\left(2r-5\right)$$