Rezolvați -5z^2-4z+3=0

$$- 5 z ^ { 2 } - 4 z + 3 = 0$$

Rezolvați pentru z

$$z=\frac{\sqrt{19}-2}{5}\approx 0,471779789$$

$$z=\frac{-\sqrt{19}-2}{5}\approx -1,271779789$$

Pași folosind formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea

Toate ecuațiile de forma ax^{2}+bx+c=0 pot fi rezolvate utilizând formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea oferă două soluții, una atunci când operația ± este de adunare și una atunci când este de scădere.

$$-5z^{2}-4z+3=0$$

Această ecuație este în formă standard: ax^{2}+bx+c=0. Înlocuiți a cu -5, b cu -4 și c cu 3 în formula rădăcinilor ecuațiilor de gradul al doilea, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$z=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{\left(-4\right)^{2}-4\left(-5\right)\times 3}}{2\left(-5\right)}$$

Ridicați -4 la pătrat.

$$z=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16-4\left(-5\right)\times 3}}{2\left(-5\right)}$$

Înmulțiți -4 cu -5.

$$z=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16+20\times 3}}{2\left(-5\right)}$$

Înmulțiți 20 cu 3.

$$z=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16+60}}{2\left(-5\right)}$$

Adunați 16 cu 60.

$$z=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{76}}{2\left(-5\right)}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru 76.

$$z=\frac{-\left(-4\right)±2\sqrt{19}}{2\left(-5\right)}$$

Opusul lui -4 este 4.

$$z=\frac{4±2\sqrt{19}}{2\left(-5\right)}$$

Înmulțiți 2 cu -5.

$$z=\frac{4±2\sqrt{19}}{-10}$$

Acum rezolvați ecuația z=\frac{4±2\sqrt{19}}{-10} atunci când ± este plus. Adunați 4 cu 2\sqrt{19}.

$$z=\frac{2\sqrt{19}+4}{-10}$$

Împărțiți 4+2\sqrt{19} la -10.

$$z=\frac{-\sqrt{19}-2}{5}$$

Acum rezolvați ecuația z=\frac{4±2\sqrt{19}}{-10} atunci când ± este minus. Scădeți 2\sqrt{19} din 4.

$$z=\frac{4-2\sqrt{19}}{-10}$$

Împărțiți 4-2\sqrt{19} la -10.

$$z=\frac{\sqrt{19}-2}{5}$$

Ecuația este rezolvată acum.

$$z=\frac{-\sqrt{19}-2}{5} z=\frac{\sqrt{19}-2}{5}$$

Pași pentru completarea pătratului

Ecuațiile de gradul doi ca aceasta pot fi rezolvate prin completarea pătratului. Pentru a completa pătratul, ecuația trebuie mai întâi să fie sub forma x^{2}+bx=c.

$$-5z^{2}-4z+3=0$$

Scădeți 3 din ambele părți ale ecuației.

$$-5z^{2}-4z+3-3=-3$$

Scăderea 3 din el însuși are ca rezultat 0.

$$-5z^{2}-4z=-3$$

Se împart ambele părți la -5.

$$\frac{-5z^{2}-4z}{-5}=-\frac{3}{-5}$$

Împărțirea la -5 anulează înmulțirea cu -5.

$$z^{2}+\left(-\frac{4}{-5}\right)z=-\frac{3}{-5}$$

Împărțiți -4 la -5.

$$z^{2}+\frac{4}{5}z=-\frac{3}{-5}$$

Împărțiți -3 la -5.

$$z^{2}+\frac{4}{5}z=\frac{3}{5}$$

Împărțiți \frac{4}{5}, coeficientul termenului x, la 2 pentru a obține \frac{2}{5}. Apoi, adunați pătratul lui \frac{2}{5} la ambele părți ale ecuației. Acest pas face din partea stângă a ecuației un pătrat perfect.

$$z^{2}+\frac{4}{5}z+\left(\frac{2}{5}\right)^{2}=\frac{3}{5}+\left(\frac{2}{5}\right)^{2}$$

Ridicați \frac{2}{5} la pătrat, calculând pătratul pentru numărătorul și numitorul fracției.

$$z^{2}+\frac{4}{5}z+\frac{4}{25}=\frac{3}{5}+\frac{4}{25}$$

Adunați \frac{3}{5} cu \frac{4}{25} găsind un numitor comun și adunând numărătorii. Apoi simplificați fracția până devine ireductibilă, dacă este posibil.

$$z^{2}+\frac{4}{5}z+\frac{4}{25}=\frac{19}{25}$$

Factor z^{2}+\frac{4}{5}z+\frac{4}{25}. În general, atunci când x^{2}+bx+c este un pătrat perfect, el poate fi descompus în factori oricând ca \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(z+\frac{2}{5}\right)^{2}=\frac{19}{25}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru ambele părți ale ecuației.

$$\sqrt{\left(z+\frac{2}{5}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{19}{25}}$$

Simplificați.

$$z+\frac{2}{5}=\frac{\sqrt{19}}{5} z+\frac{2}{5}=-\frac{\sqrt{19}}{5}$$

Scădeți \frac{2}{5} din ambele părți ale ecuației.

$$z=\frac{\sqrt{19}-2}{5} z=\frac{-\sqrt{19}-2}{5}$$