Rezolvați -5x^2+9x=-3

$$- 5 x ^ { 2 } + 9 x = - 3$$

Rezolvați pentru x

$$x = \frac{\sqrt{141} + 9}{10} \approx 2,087434209$$

$$x=\frac{9-\sqrt{141}}{10}\approx -0,287434209$$

Pași folosind formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea

Toate ecuațiile de forma ax^{2}+bx+c=0 pot fi rezolvate utilizând formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea oferă două soluții, una atunci când operația ± este de adunare și una atunci când este de scădere.

$$-5x^{2}+9x=-3$$

Adunați 3 la ambele părți ale ecuației.

$$-5x^{2}+9x-\left(-3\right)=-3-\left(-3\right)$$

Scăderea -3 din el însuși are ca rezultat 0.

$$-5x^{2}+9x-\left(-3\right)=0$$

Scădeți -3 din 0.

$$-5x^{2}+9x+3=0$$

Această ecuație este în formă standard: ax^{2}+bx+c=0. Înlocuiți a cu -5, b cu 9 și c cu 3 în formula rădăcinilor ecuațiilor de gradul al doilea, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-9±\sqrt{9^{2}-4\left(-5\right)\times 3}}{2\left(-5\right)}$$

Ridicați 9 la pătrat.

$$x=\frac{-9±\sqrt{81-4\left(-5\right)\times 3}}{2\left(-5\right)}$$

Înmulțiți -4 cu -5.

$$x=\frac{-9±\sqrt{81+20\times 3}}{2\left(-5\right)}$$

Înmulțiți 20 cu 3.

$$x=\frac{-9±\sqrt{81+60}}{2\left(-5\right)}$$

Adunați 81 cu 60.

$$x=\frac{-9±\sqrt{141}}{2\left(-5\right)}$$

Înmulțiți 2 cu -5.

$$x=\frac{-9±\sqrt{141}}{-10}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{-9±\sqrt{141}}{-10} atunci când ± este plus. Adunați -9 cu \sqrt{141}.

$$x=\frac{\sqrt{141}-9}{-10}$$

Împărțiți -9+\sqrt{141} la -10.

$$x=\frac{9-\sqrt{141}}{10}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{-9±\sqrt{141}}{-10} atunci când ± este minus. Scădeți \sqrt{141} din -9.

$$x=\frac{-\sqrt{141}-9}{-10}$$

Împărțiți -9-\sqrt{141} la -10.

$$x=\frac{\sqrt{141}+9}{10}$$

Ecuația este rezolvată acum.

$$x=\frac{9-\sqrt{141}}{10} x=\frac{\sqrt{141}+9}{10}$$

Pași pentru completarea pătratului

Ecuațiile de gradul doi ca aceasta pot fi rezolvate prin completarea pătratului. Pentru a completa pătratul, ecuația trebuie mai întâi să fie sub forma x^{2}+bx=c.

$$-5x^{2}+9x=-3$$

Se împart ambele părți la -5.

$$\frac{-5x^{2}+9x}{-5}=-\frac{3}{-5}$$

Împărțirea la -5 anulează înmulțirea cu -5.

$$x^{2}+\frac{9}{-5}x=-\frac{3}{-5}$$

Împărțiți 9 la -5.

$$x^{2}-\frac{9}{5}x=-\frac{3}{-5}$$

Împărțiți -3 la -5.

$$x^{2}-\frac{9}{5}x=\frac{3}{5}$$

Împărțiți -\frac{9}{5}, coeficientul termenului x, la 2 pentru a obține -\frac{9}{10}. Apoi, adunați pătratul lui -\frac{9}{10} la ambele părți ale ecuației. Acest pas face din partea stângă a ecuației un pătrat perfect.

$$x^{2}-\frac{9}{5}x+\left(-\frac{9}{10}\right)^{2}=\frac{3}{5}+\left(-\frac{9}{10}\right)^{2}$$

Ridicați -\frac{9}{10} la pătrat, calculând pătratul pentru numărătorul și numitorul fracției.

$$x^{2}-\frac{9}{5}x+\frac{81}{100}=\frac{3}{5}+\frac{81}{100}$$

Adunați \frac{3}{5} cu \frac{81}{100} găsind un numitor comun și adunând numărătorii. Apoi simplificați fracția până devine ireductibilă, dacă este posibil.

$$x^{2}-\frac{9}{5}x+\frac{81}{100}=\frac{141}{100}$$

Factor x^{2}-\frac{9}{5}x+\frac{81}{100}. În general, atunci când x^{2}+bx+c este un pătrat perfect, el poate fi descompus în factori oricând ca \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{9}{10}\right)^{2}=\frac{141}{100}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru ambele părți ale ecuației.

$$\sqrt{\left(x-\frac{9}{10}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{141}{100}}$$

Simplificați.

$$x-\frac{9}{10}=\frac{\sqrt{141}}{10} x-\frac{9}{10}=-\frac{\sqrt{141}}{10}$$

Adunați \frac{9}{10} la ambele părți ale ecuației.

$$x=\frac{\sqrt{141}+9}{10} x=\frac{9-\sqrt{141}}{10}$$