Rezolvați -5x^2+7x+2=0

$$- 5 x ^ { 2 } + 7 x + 2 = 0$$

Rezolvați pentru x

$$x = \frac{\sqrt{89} + 7}{10} \approx 1,643398113$$

$$x=\frac{7-\sqrt{89}}{10}\approx -0,243398113$$

Pași folosind formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea

Toate ecuațiile de forma ax^{2}+bx+c=0 pot fi rezolvate utilizând formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea oferă două soluții, una atunci când operația ± este de adunare și una atunci când este de scădere.

$$-5x^{2}+7x+2=0$$

Această ecuație este în formă standard: ax^{2}+bx+c=0. Înlocuiți a cu -5, b cu 7 și c cu 2 în formula rădăcinilor ecuațiilor de gradul al doilea, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-7±\sqrt{7^{2}-4\left(-5\right)\times 2}}{2\left(-5\right)}$$

Ridicați 7 la pătrat.

$$x=\frac{-7±\sqrt{49-4\left(-5\right)\times 2}}{2\left(-5\right)}$$

Înmulțiți -4 cu -5.

$$x=\frac{-7±\sqrt{49+20\times 2}}{2\left(-5\right)}$$

Înmulțiți 20 cu 2.

$$x=\frac{-7±\sqrt{49+40}}{2\left(-5\right)}$$

Adunați 49 cu 40.

$$x=\frac{-7±\sqrt{89}}{2\left(-5\right)}$$

Înmulțiți 2 cu -5.

$$x=\frac{-7±\sqrt{89}}{-10}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{-7±\sqrt{89}}{-10} atunci când ± este plus. Adunați -7 cu \sqrt{89}.

$$x=\frac{\sqrt{89}-7}{-10}$$

Împărțiți -7+\sqrt{89} la -10.

$$x=\frac{7-\sqrt{89}}{10}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{-7±\sqrt{89}}{-10} atunci când ± este minus. Scădeți \sqrt{89} din -7.

$$x=\frac{-\sqrt{89}-7}{-10}$$

Împărțiți -7-\sqrt{89} la -10.

$$x=\frac{\sqrt{89}+7}{10}$$

Ecuația este rezolvată acum.

$$x=\frac{7-\sqrt{89}}{10} x=\frac{\sqrt{89}+7}{10}$$

Pași pentru completarea pătratului

Ecuațiile de gradul doi ca aceasta pot fi rezolvate prin completarea pătratului. Pentru a completa pătratul, ecuația trebuie mai întâi să fie sub forma x^{2}+bx=c.

$$-5x^{2}+7x+2=0$$

Scădeți 2 din ambele părți ale ecuației.

$$-5x^{2}+7x+2-2=-2$$

Scăderea 2 din el însuși are ca rezultat 0.

$$-5x^{2}+7x=-2$$

Se împart ambele părți la -5.

$$\frac{-5x^{2}+7x}{-5}=-\frac{2}{-5}$$

Împărțirea la -5 anulează înmulțirea cu -5.

$$x^{2}+\frac{7}{-5}x=-\frac{2}{-5}$$

Împărțiți 7 la -5.

$$x^{2}-\frac{7}{5}x=-\frac{2}{-5}$$

Împărțiți -2 la -5.

$$x^{2}-\frac{7}{5}x=\frac{2}{5}$$

Împărțiți -\frac{7}{5}, coeficientul termenului x, la 2 pentru a obține -\frac{7}{10}. Apoi, adunați pătratul lui -\frac{7}{10} la ambele părți ale ecuației. Acest pas face din partea stângă a ecuației un pătrat perfect.

$$x^{2}-\frac{7}{5}x+\left(-\frac{7}{10}\right)^{2}=\frac{2}{5}+\left(-\frac{7}{10}\right)^{2}$$

Ridicați -\frac{7}{10} la pătrat, calculând pătratul pentru numărătorul și numitorul fracției.

$$x^{2}-\frac{7}{5}x+\frac{49}{100}=\frac{2}{5}+\frac{49}{100}$$

Adunați \frac{2}{5} cu \frac{49}{100} găsind un numitor comun și adunând numărătorii. Apoi simplificați fracția până devine ireductibilă, dacă este posibil.

$$x^{2}-\frac{7}{5}x+\frac{49}{100}=\frac{89}{100}$$

Factor x^{2}-\frac{7}{5}x+\frac{49}{100}. În general, atunci când x^{2}+bx+c este un pătrat perfect, el poate fi descompus în factori oricând ca \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{7}{10}\right)^{2}=\frac{89}{100}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru ambele părți ale ecuației.

$$\sqrt{\left(x-\frac{7}{10}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{89}{100}}$$

Simplificați.

$$x-\frac{7}{10}=\frac{\sqrt{89}}{10} x-\frac{7}{10}=-\frac{\sqrt{89}}{10}$$

Adunați \frac{7}{10} la ambele părți ale ecuației.

$$x=\frac{\sqrt{89}+7}{10} x=\frac{7-\sqrt{89}}{10}$$