Rezolvați -4a^2-5a+1=0

$$- 4 a ^ { 2 } - 5 a + 1 = 0$$

Rezolvați pentru a

$$a=\frac{\sqrt{41}-5}{8}\approx 0,17539053$$

$$a=\frac{-\sqrt{41}-5}{8}\approx -1,42539053$$

Pași folosind formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea

Toate ecuațiile de forma ax^{2}+bx+c=0 pot fi rezolvate utilizând formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea oferă două soluții, una atunci când operația ± este de adunare și una atunci când este de scădere.

$$-4a^{2}-5a+1=0$$

Această ecuație este în formă standard: ax^{2}+bx+c=0. Înlocuiți a cu -4, b cu -5 și c cu 1 în formula rădăcinilor ecuațiilor de gradul al doilea, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$a=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{\left(-5\right)^{2}-4\left(-4\right)}}{2\left(-4\right)}$$

Ridicați -5 la pătrat.

$$a=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25-4\left(-4\right)}}{2\left(-4\right)}$$

Înmulțiți -4 cu -4.

$$a=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25+16}}{2\left(-4\right)}$$

Adunați 25 cu 16.

$$a=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{41}}{2\left(-4\right)}$$

Opusul lui -5 este 5.

$$a=\frac{5±\sqrt{41}}{2\left(-4\right)}$$

Înmulțiți 2 cu -4.

$$a=\frac{5±\sqrt{41}}{-8}$$

Acum rezolvați ecuația a=\frac{5±\sqrt{41}}{-8} atunci când ± este plus. Adunați 5 cu \sqrt{41}.

$$a=\frac{\sqrt{41}+5}{-8}$$

Împărțiți 5+\sqrt{41} la -8.

$$a=\frac{-\sqrt{41}-5}{8}$$

Acum rezolvați ecuația a=\frac{5±\sqrt{41}}{-8} atunci când ± este minus. Scădeți \sqrt{41} din 5.

$$a=\frac{5-\sqrt{41}}{-8}$$

Împărțiți 5-\sqrt{41} la -8.

$$a=\frac{\sqrt{41}-5}{8}$$

Ecuația este rezolvată acum.

$$a=\frac{-\sqrt{41}-5}{8} a=\frac{\sqrt{41}-5}{8}$$

Pași pentru completarea pătratului

Ecuațiile de gradul doi ca aceasta pot fi rezolvate prin completarea pătratului. Pentru a completa pătratul, ecuația trebuie mai întâi să fie sub forma x^{2}+bx=c.

$$-4a^{2}-5a+1=0$$

Scădeți 1 din ambele părți ale ecuației.

$$-4a^{2}-5a+1-1=-1$$

Scăderea 1 din el însuși are ca rezultat 0.

$$-4a^{2}-5a=-1$$

Se împart ambele părți la -4.

$$\frac{-4a^{2}-5a}{-4}=-\frac{1}{-4}$$

Împărțirea la -4 anulează înmulțirea cu -4.

$$a^{2}+\left(-\frac{5}{-4}\right)a=-\frac{1}{-4}$$

Împărțiți -5 la -4.

$$a^{2}+\frac{5}{4}a=-\frac{1}{-4}$$

Împărțiți -1 la -4.

$$a^{2}+\frac{5}{4}a=\frac{1}{4}$$

Împărțiți \frac{5}{4}, coeficientul termenului x, la 2 pentru a obține \frac{5}{8}. Apoi, adunați pătratul lui \frac{5}{8} la ambele părți ale ecuației. Acest pas face din partea stângă a ecuației un pătrat perfect.

$$a^{2}+\frac{5}{4}a+\left(\frac{5}{8}\right)^{2}=\frac{1}{4}+\left(\frac{5}{8}\right)^{2}$$

Ridicați \frac{5}{8} la pătrat, calculând pătratul pentru numărătorul și numitorul fracției.

$$a^{2}+\frac{5}{4}a+\frac{25}{64}=\frac{1}{4}+\frac{25}{64}$$

Adunați \frac{1}{4} cu \frac{25}{64} găsind un numitor comun și adunând numărătorii. Apoi simplificați fracția până devine ireductibilă, dacă este posibil.

$$a^{2}+\frac{5}{4}a+\frac{25}{64}=\frac{41}{64}$$

Factor a^{2}+\frac{5}{4}a+\frac{25}{64}. În general, atunci când x^{2}+bx+c este un pătrat perfect, el poate fi descompus în factori oricând ca \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(a+\frac{5}{8}\right)^{2}=\frac{41}{64}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru ambele părți ale ecuației.

$$\sqrt{\left(a+\frac{5}{8}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{41}{64}}$$

Simplificați.

$$a+\frac{5}{8}=\frac{\sqrt{41}}{8} a+\frac{5}{8}=-\frac{\sqrt{41}}{8}$$

Scădeți \frac{5}{8} din ambele părți ale ecuației.

$$a=\frac{\sqrt{41}-5}{8} a=\frac{-\sqrt{41}-5}{8}$$