Rezolvați -35t-1/2*98t^2=-14

$$- 35 t - \frac { 1 } { 2 } \times 98 t ^ { 2 } = - 14$$

Rezolvați pentru t

$$t=-1$$

$$t=\frac{2}{7}\approx 0,285714286$$

Pași utilizând descompunerea în factori prin grupare

Înmulțiți \frac{1}{2} cu 98 pentru a obține 49.

$$-35t-49t^{2}=-14$$

Adăugați 14 la ambele părți.

$$-35t-49t^{2}+14=0$$

Se împart ambele părți la 7.

$$-5t-7t^{2}+2=0$$

Rearanjați polinomul pentru a-l pune în formă standard. Plasați termenii în ordine de la cel mai mare la puterea minimă.

$$-7t^{2}-5t+2=0$$

Pentru a rezolva ecuația, factor mâna stângă după grupare. Mai întâi, fața la stânga trebuie să fie rescrisă ca -7t^{2}+at+bt+2. Pentru a găsi a și b, configurați un sistem pentru a fi rezolvat.

$$a+b=-5 ab=-7\times 2=-14$$

Deoarece ab este negativ, a și b au semne opuse. Deoarece a+b este negativ, numărul negativ are o valoare absolută mai mare decât valoarea pozitivă. Listează toate perechi de valori întregi care oferă produse -14.

$$1,-14 2,-7$$

Calculați suma pentru fiecare pereche.

$$1-14=-13 2-7=-5$$

Soluția este perechea care dă suma de -5.

$$a=2 b=-7$$

Rescrieți -7t^{2}-5t+2 ca \left(-7t^{2}+2t\right)+\left(-7t+2\right).

$$\left(-7t^{2}+2t\right)+\left(-7t+2\right)$$

Factor -t în primul și -1 în al doilea grup.

$$-t\left(7t-2\right)-\left(7t-2\right)$$

Scoateți termenul comun 7t-2 prin utilizarea proprietății de distributivitate.

$$\left(7t-2\right)\left(-t-1\right)$$

Pentru a găsi soluții de ecuații, rezolvați 7t-2=0 și -t-1=0.

$$t=\frac{2}{7} t=-1$$

Pași folosind formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea

Înmulțiți \frac{1}{2} cu 98 pentru a obține 49.

$$-35t-49t^{2}=-14$$

Adăugați 14 la ambele părți.

$$-35t-49t^{2}+14=0$$

Toate ecuațiile de forma ax^{2}+bx+c=0 pot fi rezolvate utilizând formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea oferă două soluții, una atunci când operația ± este de adunare și una atunci când este de scădere.

$$-49t^{2}-35t+14=0$$

Această ecuație este în formă standard: ax^{2}+bx+c=0. Înlocuiți a cu -49, b cu -35 și c cu 14 în formula rădăcinilor ecuațiilor de gradul al doilea, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$t=\frac{-\left(-35\right)±\sqrt{\left(-35\right)^{2}-4\left(-49\right)\times 14}}{2\left(-49\right)}$$

Ridicați -35 la pătrat.

$$t=\frac{-\left(-35\right)±\sqrt{1225-4\left(-49\right)\times 14}}{2\left(-49\right)}$$

Înmulțiți -4 cu -49.

$$t=\frac{-\left(-35\right)±\sqrt{1225+196\times 14}}{2\left(-49\right)}$$

Înmulțiți 196 cu 14.

$$t=\frac{-\left(-35\right)±\sqrt{1225+2744}}{2\left(-49\right)}$$

Adunați 1225 cu 2744.

$$t=\frac{-\left(-35\right)±\sqrt{3969}}{2\left(-49\right)}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru 3969.

$$t=\frac{-\left(-35\right)±63}{2\left(-49\right)}$$

Opusul lui -35 este 35.

$$t=\frac{35±63}{2\left(-49\right)}$$

Înmulțiți 2 cu -49.

$$t=\frac{35±63}{-98}$$

Acum rezolvați ecuația t=\frac{35±63}{-98} atunci când ± este plus. Adunați 35 cu 63.

$$t=\frac{98}{-98}$$

Împărțiți 98 la -98.

$$t=-1$$

Acum rezolvați ecuația t=\frac{35±63}{-98} atunci când ± este minus. Scădeți 63 din 35.

$$t=-\frac{28}{-98}$$

Reduceți fracția \frac{-28}{-98} la cei mai mici termeni, prin extragerea și reducerea 14.

$$t=\frac{2}{7}$$

Ecuația este rezolvată acum.

$$t=-1 t=\frac{2}{7}$$

Pași pentru completarea pătratului

Înmulțiți \frac{1}{2} cu 98 pentru a obține 49.

$$-35t-49t^{2}=-14$$

Ecuațiile de gradul doi ca aceasta pot fi rezolvate prin completarea pătratului. Pentru a completa pătratul, ecuația trebuie mai întâi să fie sub forma x^{2}+bx=c.

$$-49t^{2}-35t=-14$$

Se împart ambele părți la -49.

$$\frac{-49t^{2}-35t}{-49}=-\frac{14}{-49}$$

Împărțirea la -49 anulează înmulțirea cu -49.

$$t^{2}+\left(-\frac{35}{-49}\right)t=-\frac{14}{-49}$$

Reduceți fracția \frac{-35}{-49} la cei mai mici termeni, prin extragerea și reducerea 7.

$$t^{2}+\frac{5}{7}t=-\frac{14}{-49}$$

Reduceți fracția \frac{-14}{-49} la cei mai mici termeni, prin extragerea și reducerea 7.

$$t^{2}+\frac{5}{7}t=\frac{2}{7}$$

Împărțiți \frac{5}{7}, coeficientul termenului x, la 2 pentru a obține \frac{5}{14}. Apoi, adunați pătratul lui \frac{5}{14} la ambele părți ale ecuației. Acest pas face din partea stângă a ecuației un pătrat perfect.

$$t^{2}+\frac{5}{7}t+\left(\frac{5}{14}\right)^{2}=\frac{2}{7}+\left(\frac{5}{14}\right)^{2}$$

Ridicați \frac{5}{14} la pătrat, calculând pătratul pentru numărătorul și numitorul fracției.

$$t^{2}+\frac{5}{7}t+\frac{25}{196}=\frac{2}{7}+\frac{25}{196}$$

Adunați \frac{2}{7} cu \frac{25}{196} găsind un numitor comun și adunând numărătorii. Apoi simplificați fracția până devine ireductibilă, dacă este posibil.

$$t^{2}+\frac{5}{7}t+\frac{25}{196}=\frac{81}{196}$$

Factor t^{2}+\frac{5}{7}t+\frac{25}{196}. În general, atunci când x^{2}+bx+c este un pătrat perfect, el poate fi descompus în factori oricând ca \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(t+\frac{5}{14}\right)^{2}=\frac{81}{196}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru ambele părți ale ecuației.

$$\sqrt{\left(t+\frac{5}{14}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{81}{196}}$$

Simplificați.

$$t+\frac{5}{14}=\frac{9}{14} t+\frac{5}{14}=-\frac{9}{14}$$

Scădeți \frac{5}{14} din ambele părți ale ecuației.

$$t=\frac{2}{7} t=-1$$