Rezolvați -3x^2-9x+84=0

$$- 3 x ^ { 2 } - 9 x + 84 = 0$$

Rezolvați pentru x

$$x=-7$$

$$x=4$$

Pași utilizând descompunerea în factori prin grupare

Se împart ambele părți la 3.

$$-x^{2}-3x+28=0$$

Pentru a rezolva ecuația, factor mâna stângă după grupare. Mai întâi, fața la stânga trebuie să fie rescrisă ca -x^{2}+ax+bx+28. Pentru a găsi a și b, configurați un sistem pentru a fi rezolvat.

$$a+b=-3 ab=-28=-28$$

Deoarece ab este negativ, a și b au semne opuse. Deoarece a+b este negativ, numărul negativ are o valoare absolută mai mare decât valoarea pozitivă. Listează toate perechi de valori întregi care oferă produse -28.

$$1,-28 2,-14 4,-7$$

Calculați suma pentru fiecare pereche.

$$1-28=-27 2-14=-12 4-7=-3$$

Soluția este perechea care dă suma de -3.

$$a=4 b=-7$$

Rescrieți -x^{2}-3x+28 ca \left(-x^{2}+4x\right)+\left(-7x+28\right).

$$\left(-x^{2}+4x\right)+\left(-7x+28\right)$$

Factor x în primul și 7 în al doilea grup.

$$x\left(-x+4\right)+7\left(-x+4\right)$$

Scoateți termenul comun -x+4 prin utilizarea proprietății de distributivitate.

$$\left(-x+4\right)\left(x+7\right)$$

Pentru a găsi soluții de ecuații, rezolvați -x+4=0 și x+7=0.

$$x=4 x=-7$$

Pași folosind formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea

Toate ecuațiile de forma ax^{2}+bx+c=0 pot fi rezolvate utilizând formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea oferă două soluții, una atunci când operația ± este de adunare și una atunci când este de scădere.

$$-3x^{2}-9x+84=0$$

Această ecuație este în formă standard: ax^{2}+bx+c=0. Înlocuiți a cu -3, b cu -9 și c cu 84 în formula rădăcinilor ecuațiilor de gradul al doilea, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{\left(-9\right)^{2}-4\left(-3\right)\times 84}}{2\left(-3\right)}$$

Ridicați -9 la pătrat.

$$x=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{81-4\left(-3\right)\times 84}}{2\left(-3\right)}$$

Înmulțiți -4 cu -3.

$$x=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{81+12\times 84}}{2\left(-3\right)}$$

Înmulțiți 12 cu 84.

$$x=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{81+1008}}{2\left(-3\right)}$$

Adunați 81 cu 1008.

$$x=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{1089}}{2\left(-3\right)}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru 1089.

$$x=\frac{-\left(-9\right)±33}{2\left(-3\right)}$$

Opusul lui -9 este 9.

$$x=\frac{9±33}{2\left(-3\right)}$$

Înmulțiți 2 cu -3.

$$x=\frac{9±33}{-6}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{9±33}{-6} atunci când ± este plus. Adunați 9 cu 33.

$$x=\frac{42}{-6}$$

Împărțiți 42 la -6.

$$x=-7$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{9±33}{-6} atunci când ± este minus. Scădeți 33 din 9.

$$x=-\frac{24}{-6}$$

Împărțiți -24 la -6.

$$x=4$$

Ecuația este rezolvată acum.

$$x=-7 x=4$$

Pași pentru completarea pătratului

Ecuațiile de gradul doi ca aceasta pot fi rezolvate prin completarea pătratului. Pentru a completa pătratul, ecuația trebuie mai întâi să fie sub forma x^{2}+bx=c.

$$-3x^{2}-9x+84=0$$

Scădeți 84 din ambele părți ale ecuației.

$$-3x^{2}-9x+84-84=-84$$

Scăderea 84 din el însuși are ca rezultat 0.

$$-3x^{2}-9x=-84$$

Se împart ambele părți la -3.

$$\frac{-3x^{2}-9x}{-3}=-\frac{84}{-3}$$

Împărțirea la -3 anulează înmulțirea cu -3.

$$x^{2}+\left(-\frac{9}{-3}\right)x=-\frac{84}{-3}$$

Împărțiți -9 la -3.

$$x^{2}+3x=-\frac{84}{-3}$$

Împărțiți -84 la -3.

$$x^{2}+3x=28$$

Împărțiți 3, coeficientul termenului x, la 2 pentru a obține \frac{3}{2}. Apoi, adunați pătratul lui \frac{3}{2} la ambele părți ale ecuației. Acest pas face din partea stângă a ecuației un pătrat perfect.

$$x^{2}+3x+\left(\frac{3}{2}\right)^{2}=28+\left(\frac{3}{2}\right)^{2}$$

Ridicați \frac{3}{2} la pătrat, calculând pătratul pentru numărătorul și numitorul fracției.

$$x^{2}+3x+\frac{9}{4}=28+\frac{9}{4}$$

Adunați 28 cu \frac{9}{4}.

$$x^{2}+3x+\frac{9}{4}=\frac{121}{4}$$

Factor x^{2}+3x+\frac{9}{4}. În general, atunci când x^{2}+bx+c este un pătrat perfect, el poate fi descompus în factori oricând ca \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{3}{2}\right)^{2}=\frac{121}{4}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru ambele părți ale ecuației.

$$\sqrt{\left(x+\frac{3}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{121}{4}}$$

Simplificați.

$$x+\frac{3}{2}=\frac{11}{2} x+\frac{3}{2}=-\frac{11}{2}$$

Scădeți \frac{3}{2} din ambele părți ale ecuației.

$$x=4 x=-7$$