Rezolvați -3x^2-24x-51=0

$$- 3 x ^ { 2 } - 24 x - 51 = 0$$

Rezolvați pentru x (complex solution)

$$x=-4+i$$

$$x=-4-i$$

Pași folosind formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea

Toate ecuațiile de forma ax^{2}+bx+c=0 pot fi rezolvate utilizând formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea oferă două soluții, una atunci când operația ± este de adunare și una atunci când este de scădere.

$$-3x^{2}-24x-51=0$$

Această ecuație este în formă standard: ax^{2}+bx+c=0. Înlocuiți a cu -3, b cu -24 și c cu -51 în formula rădăcinilor ecuațiilor de gradul al doilea, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-24\right)±\sqrt{\left(-24\right)^{2}-4\left(-3\right)\left(-51\right)}}{2\left(-3\right)}$$

Ridicați -24 la pătrat.

$$x=\frac{-\left(-24\right)±\sqrt{576-4\left(-3\right)\left(-51\right)}}{2\left(-3\right)}$$

Înmulțiți -4 cu -3.

$$x=\frac{-\left(-24\right)±\sqrt{576+12\left(-51\right)}}{2\left(-3\right)}$$

Înmulțiți 12 cu -51.

$$x=\frac{-\left(-24\right)±\sqrt{576-612}}{2\left(-3\right)}$$

Adunați 576 cu -612.

$$x=\frac{-\left(-24\right)±\sqrt{-36}}{2\left(-3\right)}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru -36.

$$x=\frac{-\left(-24\right)±6i}{2\left(-3\right)}$$

Opusul lui -24 este 24.

$$x=\frac{24±6i}{2\left(-3\right)}$$

Înmulțiți 2 cu -3.

$$x=\frac{24±6i}{-6}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{24±6i}{-6} atunci când ± este plus. Adunați 24 cu 6i.

$$x=\frac{24+6i}{-6}$$

Împărțiți 24+6i la -6.

$$x=-4-i$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{24±6i}{-6} atunci când ± este minus. Scădeți 6i din 24.

$$x=\frac{24-6i}{-6}$$

Împărțiți 24-6i la -6.

$$x=-4+i$$

Ecuația este rezolvată acum.

$$x=-4-i x=-4+i$$

Pași pentru completarea pătratului

Ecuațiile de gradul doi ca aceasta pot fi rezolvate prin completarea pătratului. Pentru a completa pătratul, ecuația trebuie mai întâi să fie sub forma x^{2}+bx=c.

$$-3x^{2}-24x-51=0$$

Adunați 51 la ambele părți ale ecuației.

$$-3x^{2}-24x-51-\left(-51\right)=-\left(-51\right)$$

Scăderea -51 din el însuși are ca rezultat 0.

$$-3x^{2}-24x=-\left(-51\right)$$

Scădeți -51 din 0.

$$-3x^{2}-24x=51$$

Se împart ambele părți la -3.

$$\frac{-3x^{2}-24x}{-3}=\frac{51}{-3}$$

Împărțirea la -3 anulează înmulțirea cu -3.

$$x^{2}+\left(-\frac{24}{-3}\right)x=\frac{51}{-3}$$

Împărțiți -24 la -3.

$$x^{2}+8x=\frac{51}{-3}$$

Împărțiți 51 la -3.

$$x^{2}+8x=-17$$

Împărțiți 8, coeficientul termenului x, la 2 pentru a obține 4. Apoi, adunați pătratul lui 4 la ambele părți ale ecuației. Acest pas face din partea stângă a ecuației un pătrat perfect.

$$x^{2}+8x+4^{2}=-17+4^{2}$$

Ridicați 4 la pătrat.

$$x^{2}+8x+16=-17+16$$

Adunați -17 cu 16.

$$x^{2}+8x+16=-1$$

Factor x^{2}+8x+16. În general, atunci când x^{2}+bx+c este un pătrat perfect, el poate fi descompus în factori oricând ca \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+4\right)^{2}=-1$$

Aflați rădăcina pătrată pentru ambele părți ale ecuației.

$$\sqrt{\left(x+4\right)^{2}}=\sqrt{-1}$$

Simplificați.

$$x+4=i x+4=-i$$

Scădeți 4 din ambele părți ale ecuației.

$$x=-4+i x=-4-i$$