Rezolvați -3x^2+51x-156=0

$$- 3 x ^ { 2 } + 51 x - 156 = 0$$

Rezolvați pentru x

$$x=4$$

$$x=13$$

Pași utilizând descompunerea în factori prin grupare

Se împart ambele părți la 3.

$$-x^{2}+17x-52=0$$

Pentru a rezolva ecuația, factor mâna stângă după grupare. Mai întâi, fața la stânga trebuie să fie rescrisă ca -x^{2}+ax+bx-52. Pentru a găsi a și b, configurați un sistem pentru a fi rezolvat.

$$a+b=17 ab=-\left(-52\right)=52$$

Deoarece ab este pozitiv, a și b au același semn. Deoarece a+b este pozitiv, a și b sunt ambele pozitive. Listează toate perechi de valori întregi care oferă produse 52.

$$1,52 2,26 4,13$$

Calculați suma pentru fiecare pereche.

$$1+52=53 2+26=28 4+13=17$$

Soluția este perechea care dă suma de 17.

$$a=13 b=4$$

Rescrieți -x^{2}+17x-52 ca \left(-x^{2}+13x\right)+\left(4x-52\right).

$$\left(-x^{2}+13x\right)+\left(4x-52\right)$$

Factor -x în primul și 4 în al doilea grup.

$$-x\left(x-13\right)+4\left(x-13\right)$$

Scoateți termenul comun x-13 prin utilizarea proprietății de distributivitate.

$$\left(x-13\right)\left(-x+4\right)$$

Pentru a găsi soluții de ecuații, rezolvați x-13=0 și -x+4=0.

$$x=13 x=4$$

Pași folosind formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea

Toate ecuațiile de forma ax^{2}+bx+c=0 pot fi rezolvate utilizând formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea oferă două soluții, una atunci când operația ± este de adunare și una atunci când este de scădere.

$$-3x^{2}+51x-156=0$$

Această ecuație este în formă standard: ax^{2}+bx+c=0. Înlocuiți a cu -3, b cu 51 și c cu -156 în formula rădăcinilor ecuațiilor de gradul al doilea, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-51±\sqrt{51^{2}-4\left(-3\right)\left(-156\right)}}{2\left(-3\right)}$$

Ridicați 51 la pătrat.

$$x=\frac{-51±\sqrt{2601-4\left(-3\right)\left(-156\right)}}{2\left(-3\right)}$$

Înmulțiți -4 cu -3.

$$x=\frac{-51±\sqrt{2601+12\left(-156\right)}}{2\left(-3\right)}$$

Înmulțiți 12 cu -156.

$$x=\frac{-51±\sqrt{2601-1872}}{2\left(-3\right)}$$

Adunați 2601 cu -1872.

$$x=\frac{-51±\sqrt{729}}{2\left(-3\right)}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru 729.

$$x=\frac{-51±27}{2\left(-3\right)}$$

Înmulțiți 2 cu -3.

$$x=\frac{-51±27}{-6}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{-51±27}{-6} atunci când ± este plus. Adunați -51 cu 27.

$$x=-\frac{24}{-6}$$

Împărțiți -24 la -6.

$$x=4$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{-51±27}{-6} atunci când ± este minus. Scădeți 27 din -51.

$$x=-\frac{78}{-6}$$

Împărțiți -78 la -6.

$$x=13$$

Ecuația este rezolvată acum.

$$x=4 x=13$$

Pași pentru completarea pătratului

Ecuațiile de gradul doi ca aceasta pot fi rezolvate prin completarea pătratului. Pentru a completa pătratul, ecuația trebuie mai întâi să fie sub forma x^{2}+bx=c.

$$-3x^{2}+51x-156=0$$

Adunați 156 la ambele părți ale ecuației.

$$-3x^{2}+51x-156-\left(-156\right)=-\left(-156\right)$$

Scăderea -156 din el însuși are ca rezultat 0.

$$-3x^{2}+51x=-\left(-156\right)$$

Scădeți -156 din 0.

$$-3x^{2}+51x=156$$

Se împart ambele părți la -3.

$$\frac{-3x^{2}+51x}{-3}=\frac{156}{-3}$$

Împărțirea la -3 anulează înmulțirea cu -3.

$$x^{2}+\frac{51}{-3}x=\frac{156}{-3}$$

Împărțiți 51 la -3.

$$x^{2}-17x=\frac{156}{-3}$$

Împărțiți 156 la -3.

$$x^{2}-17x=-52$$

Împărțiți -17, coeficientul termenului x, la 2 pentru a obține -\frac{17}{2}. Apoi, adunați pătratul lui -\frac{17}{2} la ambele părți ale ecuației. Acest pas face din partea stângă a ecuației un pătrat perfect.

$$x^{2}-17x+\left(-\frac{17}{2}\right)^{2}=-52+\left(-\frac{17}{2}\right)^{2}$$

Ridicați -\frac{17}{2} la pătrat, calculând pătratul pentru numărătorul și numitorul fracției.

$$x^{2}-17x+\frac{289}{4}=-52+\frac{289}{4}$$

Adunați -52 cu \frac{289}{4}.

$$x^{2}-17x+\frac{289}{4}=\frac{81}{4}$$

Factor x^{2}-17x+\frac{289}{4}. În general, atunci când x^{2}+bx+c este un pătrat perfect, el poate fi descompus în factori oricând ca \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{17}{2}\right)^{2}=\frac{81}{4}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru ambele părți ale ecuației.

$$\sqrt{\left(x-\frac{17}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{81}{4}}$$

Simplificați.

$$x-\frac{17}{2}=\frac{9}{2} x-\frac{17}{2}=-\frac{9}{2}$$

Adunați \frac{17}{2} la ambele părți ale ecuației.

$$x=13 x=4$$