Rezolvați -3x^2+5x-4=0

$$- 3 x ^ { 2 } + 5 x - 4 = 0$$

Rezolvați pentru x (complex solution)

$$x=\frac{-\sqrt{23}i+5}{6}\approx 0,833333333-0,799305254i$$

$$x=\frac{5+\sqrt{23}i}{6}\approx 0,833333333+0,799305254i$$

Pași folosind formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea

Toate ecuațiile de forma ax^{2}+bx+c=0 pot fi rezolvate utilizând formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea oferă două soluții, una atunci când operația ± este de adunare și una atunci când este de scădere.

$$-3x^{2}+5x-4=0$$

Această ecuație este în formă standard: ax^{2}+bx+c=0. Înlocuiți a cu -3, b cu 5 și c cu -4 în formula rădăcinilor ecuațiilor de gradul al doilea, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-5±\sqrt{5^{2}-4\left(-3\right)\left(-4\right)}}{2\left(-3\right)}$$

Ridicați 5 la pătrat.

$$x=\frac{-5±\sqrt{25-4\left(-3\right)\left(-4\right)}}{2\left(-3\right)}$$

Înmulțiți -4 cu -3.

$$x=\frac{-5±\sqrt{25+12\left(-4\right)}}{2\left(-3\right)}$$

Înmulțiți 12 cu -4.

$$x=\frac{-5±\sqrt{25-48}}{2\left(-3\right)}$$

Adunați 25 cu -48.

$$x=\frac{-5±\sqrt{-23}}{2\left(-3\right)}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru -23.

$$x=\frac{-5±\sqrt{23}i}{2\left(-3\right)}$$

Înmulțiți 2 cu -3.

$$x=\frac{-5±\sqrt{23}i}{-6}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{-5±\sqrt{23}i}{-6} atunci când ± este plus. Adunați -5 cu i\sqrt{23}.

$$x=\frac{-5+\sqrt{23}i}{-6}$$

Împărțiți -5+i\sqrt{23} la -6.

$$x=\frac{-\sqrt{23}i+5}{6}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{-5±\sqrt{23}i}{-6} atunci când ± este minus. Scădeți i\sqrt{23} din -5.

$$x=\frac{-\sqrt{23}i-5}{-6}$$

Împărțiți -5-i\sqrt{23} la -6.

$$x=\frac{5+\sqrt{23}i}{6}$$

Ecuația este rezolvată acum.

$$x=\frac{-\sqrt{23}i+5}{6} x=\frac{5+\sqrt{23}i}{6}$$

Pași pentru completarea pătratului

Ecuațiile de gradul doi ca aceasta pot fi rezolvate prin completarea pătratului. Pentru a completa pătratul, ecuația trebuie mai întâi să fie sub forma x^{2}+bx=c.

$$-3x^{2}+5x-4=0$$

Adunați 4 la ambele părți ale ecuației.

$$-3x^{2}+5x-4-\left(-4\right)=-\left(-4\right)$$

Scăderea -4 din el însuși are ca rezultat 0.

$$-3x^{2}+5x=-\left(-4\right)$$

Scădeți -4 din 0.

$$-3x^{2}+5x=4$$

Se împart ambele părți la -3.

$$\frac{-3x^{2}+5x}{-3}=\frac{4}{-3}$$

Împărțirea la -3 anulează înmulțirea cu -3.

$$x^{2}+\frac{5}{-3}x=\frac{4}{-3}$$

Împărțiți 5 la -3.

$$x^{2}-\frac{5}{3}x=\frac{4}{-3}$$

Împărțiți 4 la -3.

$$x^{2}-\frac{5}{3}x=-\frac{4}{3}$$

Împărțiți -\frac{5}{3}, coeficientul termenului x, la 2 pentru a obține -\frac{5}{6}. Apoi, adunați pătratul lui -\frac{5}{6} la ambele părți ale ecuației. Acest pas face din partea stângă a ecuației un pătrat perfect.

$$x^{2}-\frac{5}{3}x+\left(-\frac{5}{6}\right)^{2}=-\frac{4}{3}+\left(-\frac{5}{6}\right)^{2}$$

Ridicați -\frac{5}{6} la pătrat, calculând pătratul pentru numărătorul și numitorul fracției.

$$x^{2}-\frac{5}{3}x+\frac{25}{36}=-\frac{4}{3}+\frac{25}{36}$$

Adunați -\frac{4}{3} cu \frac{25}{36} găsind un numitor comun și adunând numărătorii. Apoi simplificați fracția până devine ireductibilă, dacă este posibil.

$$x^{2}-\frac{5}{3}x+\frac{25}{36}=-\frac{23}{36}$$

Factor x^{2}-\frac{5}{3}x+\frac{25}{36}. În general, atunci când x^{2}+bx+c este un pătrat perfect, el poate fi descompus în factori oricând ca \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{5}{6}\right)^{2}=-\frac{23}{36}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru ambele părți ale ecuației.

$$\sqrt{\left(x-\frac{5}{6}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{23}{36}}$$

Simplificați.

$$x-\frac{5}{6}=\frac{\sqrt{23}i}{6} x-\frac{5}{6}=-\frac{\sqrt{23}i}{6}$$

Adunați \frac{5}{6} la ambele părți ale ecuației.

$$x=\frac{5+\sqrt{23}i}{6} x=\frac{-\sqrt{23}i+5}{6}$$