Rezolvați -3x^2+5x-1=0

$$- 3 x ^ { 2 } + 5 x - 1 = 0$$

Rezolvați pentru x

$$x = \frac{\sqrt{13} + 5}{6} \approx 1,434258546$$

$$x=\frac{5-\sqrt{13}}{6}\approx 0,232408121$$

Pași folosind formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea

Toate ecuațiile de forma ax^{2}+bx+c=0 pot fi rezolvate utilizând formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea oferă două soluții, una atunci când operația ± este de adunare și una atunci când este de scădere.

$$-3x^{2}+5x-1=0$$

Această ecuație este în formă standard: ax^{2}+bx+c=0. Înlocuiți a cu -3, b cu 5 și c cu -1 în formula rădăcinilor ecuațiilor de gradul al doilea, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-5±\sqrt{5^{2}-4\left(-3\right)\left(-1\right)}}{2\left(-3\right)}$$

Ridicați 5 la pătrat.

$$x=\frac{-5±\sqrt{25-4\left(-3\right)\left(-1\right)}}{2\left(-3\right)}$$

Înmulțiți -4 cu -3.

$$x=\frac{-5±\sqrt{25+12\left(-1\right)}}{2\left(-3\right)}$$

Înmulțiți 12 cu -1.

$$x=\frac{-5±\sqrt{25-12}}{2\left(-3\right)}$$

Adunați 25 cu -12.

$$x=\frac{-5±\sqrt{13}}{2\left(-3\right)}$$

Înmulțiți 2 cu -3.

$$x=\frac{-5±\sqrt{13}}{-6}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{-5±\sqrt{13}}{-6} atunci când ± este plus. Adunați -5 cu \sqrt{13}.

$$x=\frac{\sqrt{13}-5}{-6}$$

Împărțiți -5+\sqrt{13} la -6.

$$x=\frac{5-\sqrt{13}}{6}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{-5±\sqrt{13}}{-6} atunci când ± este minus. Scădeți \sqrt{13} din -5.

$$x=\frac{-\sqrt{13}-5}{-6}$$

Împărțiți -5-\sqrt{13} la -6.

$$x=\frac{\sqrt{13}+5}{6}$$

Ecuația este rezolvată acum.

$$x=\frac{5-\sqrt{13}}{6} x=\frac{\sqrt{13}+5}{6}$$

Pași pentru completarea pătratului

Ecuațiile de gradul doi ca aceasta pot fi rezolvate prin completarea pătratului. Pentru a completa pătratul, ecuația trebuie mai întâi să fie sub forma x^{2}+bx=c.

$$-3x^{2}+5x-1=0$$

Adunați 1 la ambele părți ale ecuației.

$$-3x^{2}+5x-1-\left(-1\right)=-\left(-1\right)$$

Scăderea -1 din el însuși are ca rezultat 0.

$$-3x^{2}+5x=-\left(-1\right)$$

Scădeți -1 din 0.

$$-3x^{2}+5x=1$$

Se împart ambele părți la -3.

$$\frac{-3x^{2}+5x}{-3}=\frac{1}{-3}$$

Împărțirea la -3 anulează înmulțirea cu -3.

$$x^{2}+\frac{5}{-3}x=\frac{1}{-3}$$

Împărțiți 5 la -3.

$$x^{2}-\frac{5}{3}x=\frac{1}{-3}$$

Împărțiți 1 la -3.

$$x^{2}-\frac{5}{3}x=-\frac{1}{3}$$

Împărțiți -\frac{5}{3}, coeficientul termenului x, la 2 pentru a obține -\frac{5}{6}. Apoi, adunați pătratul lui -\frac{5}{6} la ambele părți ale ecuației. Acest pas face din partea stângă a ecuației un pătrat perfect.

$$x^{2}-\frac{5}{3}x+\left(-\frac{5}{6}\right)^{2}=-\frac{1}{3}+\left(-\frac{5}{6}\right)^{2}$$

Ridicați -\frac{5}{6} la pătrat, calculând pătratul pentru numărătorul și numitorul fracției.

$$x^{2}-\frac{5}{3}x+\frac{25}{36}=-\frac{1}{3}+\frac{25}{36}$$

Adunați -\frac{1}{3} cu \frac{25}{36} găsind un numitor comun și adunând numărătorii. Apoi simplificați fracția până devine ireductibilă, dacă este posibil.

$$x^{2}-\frac{5}{3}x+\frac{25}{36}=\frac{13}{36}$$

Factor x^{2}-\frac{5}{3}x+\frac{25}{36}. În general, atunci când x^{2}+bx+c este un pătrat perfect, el poate fi descompus în factori oricând ca \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{5}{6}\right)^{2}=\frac{13}{36}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru ambele părți ale ecuației.

$$\sqrt{\left(x-\frac{5}{6}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{13}{36}}$$

Simplificați.

$$x-\frac{5}{6}=\frac{\sqrt{13}}{6} x-\frac{5}{6}=-\frac{\sqrt{13}}{6}$$

Adunați \frac{5}{6} la ambele părți ale ecuației.

$$x=\frac{\sqrt{13}+5}{6} x=\frac{5-\sqrt{13}}{6}$$