Rezolvați -3(2x-1)+(x+1)(x-1)-5(x+2)=1

$$- 3 ( 2 x - 1 ) + ( x + 1 ) ( x - 1 ) - 5 ( x + 2 ) = 1$$

Rezolvați pentru x

$$x = \frac{\sqrt{157} + 11}{2} \approx 11,764982043$$

$$x=\frac{11-\sqrt{157}}{2}\approx -0,764982043$$

Pași folosind formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți -3 cu 2x-1.

$$-6x+3+\left(x+1\right)\left(x-1\right)-5\left(x+2\right)=1$$

Să luăm \left(x+1\right)\left(x-1\right). Înmulțirea poate fi transformată în diferența pătratelor, folosind regula: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}. Ridicați 1 la pătrat.

$$-6x+3+x^{2}-1-5\left(x+2\right)=1$$

Scădeți 1 din 3 pentru a obține 2.

$$-6x+2+x^{2}-5\left(x+2\right)=1$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți -5 cu x+2.

$$-6x+2+x^{2}-5x-10=1$$

Combinați -6x cu -5x pentru a obține -11x.

$$-11x+2+x^{2}-10=1$$

Scădeți 10 din 2 pentru a obține -8.

$$-11x-8+x^{2}=1$$

Scădeți 1 din ambele părți.

$$-11x-8+x^{2}-1=0$$

Scădeți 1 din -8 pentru a obține -9.

$$-11x-9+x^{2}=0$$

Toate ecuațiile de forma ax^{2}+bx+c=0 pot fi rezolvate utilizând formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea oferă două soluții, una atunci când operația ± este de adunare și una atunci când este de scădere.

$$x^{2}-11x-9=0$$

Această ecuație este în formă standard: ax^{2}+bx+c=0. Înlocuiți a cu 1, b cu -11 și c cu -9 în formula rădăcinilor ecuațiilor de gradul al doilea, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{\left(-11\right)^{2}-4\left(-9\right)}}{2}$$

Ridicați -11 la pătrat.

$$x=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{121-4\left(-9\right)}}{2}$$

Înmulțiți -4 cu -9.

$$x=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{121+36}}{2}$$

Adunați 121 cu 36.

$$x=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{157}}{2}$$

Opusul lui -11 este 11.

$$x=\frac{11±\sqrt{157}}{2}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{11±\sqrt{157}}{2} atunci când ± este plus. Adunați 11 cu \sqrt{157}.

$$x=\frac{\sqrt{157}+11}{2}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{11±\sqrt{157}}{2} atunci când ± este minus. Scădeți \sqrt{157} din 11.

$$x=\frac{11-\sqrt{157}}{2}$$

Ecuația este rezolvată acum.

$$x=\frac{\sqrt{157}+11}{2} x=\frac{11-\sqrt{157}}{2}$$

Pași pentru completarea pătratului

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți -3 cu 2x-1.

$$-6x+3+\left(x+1\right)\left(x-1\right)-5\left(x+2\right)=1$$

Să luăm \left(x+1\right)\left(x-1\right). Înmulțirea poate fi transformată în diferența pătratelor, folosind regula: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}. Ridicați 1 la pătrat.

$$-6x+3+x^{2}-1-5\left(x+2\right)=1$$

Scădeți 1 din 3 pentru a obține 2.

$$-6x+2+x^{2}-5\left(x+2\right)=1$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți -5 cu x+2.

$$-6x+2+x^{2}-5x-10=1$$

Combinați -6x cu -5x pentru a obține -11x.

$$-11x+2+x^{2}-10=1$$

Scădeți 10 din 2 pentru a obține -8.

$$-11x-8+x^{2}=1$$

Adăugați 8 la ambele părți.

$$-11x+x^{2}=1+8$$

Adunați 1 și 8 pentru a obține 9.

$$-11x+x^{2}=9$$

Ecuațiile de gradul doi ca aceasta pot fi rezolvate prin completarea pătratului. Pentru a completa pătratul, ecuația trebuie mai întâi să fie sub forma x^{2}+bx=c.

$$x^{2}-11x=9$$

Împărțiți -11, coeficientul termenului x, la 2 pentru a obține -\frac{11}{2}. Apoi, adunați pătratul lui -\frac{11}{2} la ambele părți ale ecuației. Acest pas face din partea stângă a ecuației un pătrat perfect.

$$x^{2}-11x+\left(-\frac{11}{2}\right)^{2}=9+\left(-\frac{11}{2}\right)^{2}$$

Ridicați -\frac{11}{2} la pătrat, calculând pătratul pentru numărătorul și numitorul fracției.

$$x^{2}-11x+\frac{121}{4}=9+\frac{121}{4}$$

Adunați 9 cu \frac{121}{4}.

$$x^{2}-11x+\frac{121}{4}=\frac{157}{4}$$

Factor x^{2}-11x+\frac{121}{4}. În general, atunci când x^{2}+bx+c este un pătrat perfect, el poate fi descompus în factori oricând ca \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{11}{2}\right)^{2}=\frac{157}{4}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru ambele părți ale ecuației.

$$\sqrt{\left(x-\frac{11}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{157}{4}}$$

Simplificați.

$$x-\frac{11}{2}=\frac{\sqrt{157}}{2} x-\frac{11}{2}=-\frac{\sqrt{157}}{2}$$

Adunați \frac{11}{2} la ambele părți ale ecuației.

$$x=\frac{\sqrt{157}+11}{2} x=\frac{11-\sqrt{157}}{2}$$