Rezolvați -25x^2+21x-5=0

$$- 25 x ^ { 2 } + 21 x - 5 = 0$$

Rezolvați pentru x (complex solution)

$$x=\frac{-\sqrt{59}i+21}{50}\approx 0,42-0,153622915i$$

$$x=\frac{21+\sqrt{59}i}{50}\approx 0,42+0,153622915i$$

Pași folosind formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea

Toate ecuațiile de forma ax^{2}+bx+c=0 pot fi rezolvate utilizând formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea oferă două soluții, una atunci când operația ± este de adunare și una atunci când este de scădere.

$$-25x^{2}+21x-5=0$$

Această ecuație este în formă standard: ax^{2}+bx+c=0. Înlocuiți a cu -25, b cu 21 și c cu -5 în formula rădăcinilor ecuațiilor de gradul al doilea, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-21±\sqrt{21^{2}-4\left(-25\right)\left(-5\right)}}{2\left(-25\right)}$$

Ridicați 21 la pătrat.

$$x=\frac{-21±\sqrt{441-4\left(-25\right)\left(-5\right)}}{2\left(-25\right)}$$

Înmulțiți -4 cu -25.

$$x=\frac{-21±\sqrt{441+100\left(-5\right)}}{2\left(-25\right)}$$

Înmulțiți 100 cu -5.

$$x=\frac{-21±\sqrt{441-500}}{2\left(-25\right)}$$

Adunați 441 cu -500.

$$x=\frac{-21±\sqrt{-59}}{2\left(-25\right)}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru -59.

$$x=\frac{-21±\sqrt{59}i}{2\left(-25\right)}$$

Înmulțiți 2 cu -25.

$$x=\frac{-21±\sqrt{59}i}{-50}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{-21±\sqrt{59}i}{-50} atunci când ± este plus. Adunați -21 cu i\sqrt{59}.

$$x=\frac{-21+\sqrt{59}i}{-50}$$

Împărțiți -21+i\sqrt{59} la -50.

$$x=\frac{-\sqrt{59}i+21}{50}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{-21±\sqrt{59}i}{-50} atunci când ± este minus. Scădeți i\sqrt{59} din -21.

$$x=\frac{-\sqrt{59}i-21}{-50}$$

Împărțiți -21-i\sqrt{59} la -50.

$$x=\frac{21+\sqrt{59}i}{50}$$

Ecuația este rezolvată acum.

$$x=\frac{-\sqrt{59}i+21}{50} x=\frac{21+\sqrt{59}i}{50}$$

Pași pentru completarea pătratului

Ecuațiile de gradul doi ca aceasta pot fi rezolvate prin completarea pătratului. Pentru a completa pătratul, ecuația trebuie mai întâi să fie sub forma x^{2}+bx=c.

$$-25x^{2}+21x-5=0$$

Adunați 5 la ambele părți ale ecuației.

$$-25x^{2}+21x-5-\left(-5\right)=-\left(-5\right)$$

Scăderea -5 din el însuși are ca rezultat 0.

$$-25x^{2}+21x=-\left(-5\right)$$

Scădeți -5 din 0.

$$-25x^{2}+21x=5$$

Se împart ambele părți la -25.

$$\frac{-25x^{2}+21x}{-25}=\frac{5}{-25}$$

Împărțirea la -25 anulează înmulțirea cu -25.

$$x^{2}+\frac{21}{-25}x=\frac{5}{-25}$$

Împărțiți 21 la -25.

$$x^{2}-\frac{21}{25}x=\frac{5}{-25}$$

Reduceți fracția \frac{5}{-25} la cei mai mici termeni, prin extragerea și reducerea 5.

$$x^{2}-\frac{21}{25}x=-\frac{1}{5}$$

Împărțiți -\frac{21}{25}, coeficientul termenului x, la 2 pentru a obține -\frac{21}{50}. Apoi, adunați pătratul lui -\frac{21}{50} la ambele părți ale ecuației. Acest pas face din partea stângă a ecuației un pătrat perfect.

$$x^{2}-\frac{21}{25}x+\left(-\frac{21}{50}\right)^{2}=-\frac{1}{5}+\left(-\frac{21}{50}\right)^{2}$$

Ridicați -\frac{21}{50} la pătrat, calculând pătratul pentru numărătorul și numitorul fracției.

$$x^{2}-\frac{21}{25}x+\frac{441}{2500}=-\frac{1}{5}+\frac{441}{2500}$$

Adunați -\frac{1}{5} cu \frac{441}{2500} găsind un numitor comun și adunând numărătorii. Apoi simplificați fracția până devine ireductibilă, dacă este posibil.

$$x^{2}-\frac{21}{25}x+\frac{441}{2500}=-\frac{59}{2500}$$

Factor x^{2}-\frac{21}{25}x+\frac{441}{2500}. În general, atunci când x^{2}+bx+c este un pătrat perfect, el poate fi descompus în factori oricând ca \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{21}{50}\right)^{2}=-\frac{59}{2500}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru ambele părți ale ecuației.

$$\sqrt{\left(x-\frac{21}{50}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{59}{2500}}$$

Simplificați.

$$x-\frac{21}{50}=\frac{\sqrt{59}i}{50} x-\frac{21}{50}=-\frac{\sqrt{59}i}{50}$$

Adunați \frac{21}{50} la ambele părți ale ecuației.

$$x=\frac{21+\sqrt{59}i}{50} x=\frac{-\sqrt{59}i+21}{50}$$