Rezolvați -231x^2-42x+67=0

$$- 231 x ^ { 2 } - 42 x + 67 = 0$$

Rezolvați pentru x

$$x=\frac{\sqrt{15918}}{231}-\frac{1}{11}\approx 0,455266479$$

$$x=-\frac{\sqrt{15918}}{231}-\frac{1}{11}\approx -0,637084661$$

Pași folosind formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea

Toate ecuațiile de forma ax^{2}+bx+c=0 pot fi rezolvate utilizând formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea oferă două soluții, una atunci când operația ± este de adunare și una atunci când este de scădere.

$$-231x^{2}-42x+67=0$$

Această ecuație este în formă standard: ax^{2}+bx+c=0. Înlocuiți a cu -231, b cu -42 și c cu 67 în formula rădăcinilor ecuațiilor de gradul al doilea, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-42\right)±\sqrt{\left(-42\right)^{2}-4\left(-231\right)\times 67}}{2\left(-231\right)}$$

Ridicați -42 la pătrat.

$$x=\frac{-\left(-42\right)±\sqrt{1764-4\left(-231\right)\times 67}}{2\left(-231\right)}$$

Înmulțiți -4 cu -231.

$$x=\frac{-\left(-42\right)±\sqrt{1764+924\times 67}}{2\left(-231\right)}$$

Înmulțiți 924 cu 67.

$$x=\frac{-\left(-42\right)±\sqrt{1764+61908}}{2\left(-231\right)}$$

Adunați 1764 cu 61908.

$$x=\frac{-\left(-42\right)±\sqrt{63672}}{2\left(-231\right)}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru 63672.

$$x=\frac{-\left(-42\right)±2\sqrt{15918}}{2\left(-231\right)}$$

Opusul lui -42 este 42.

$$x=\frac{42±2\sqrt{15918}}{2\left(-231\right)}$$

Înmulțiți 2 cu -231.

$$x=\frac{42±2\sqrt{15918}}{-462}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{42±2\sqrt{15918}}{-462} atunci când ± este plus. Adunați 42 cu 2\sqrt{15918}.

$$x=\frac{2\sqrt{15918}+42}{-462}$$

Împărțiți 42+2\sqrt{15918} la -462.

$$x=-\frac{\sqrt{15918}}{231}-\frac{1}{11}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{42±2\sqrt{15918}}{-462} atunci când ± este minus. Scădeți 2\sqrt{15918} din 42.

$$x=\frac{42-2\sqrt{15918}}{-462}$$

Împărțiți 42-2\sqrt{15918} la -462.

$$x=\frac{\sqrt{15918}}{231}-\frac{1}{11}$$

Ecuația este rezolvată acum.

$$x=-\frac{\sqrt{15918}}{231}-\frac{1}{11} x=\frac{\sqrt{15918}}{231}-\frac{1}{11}$$

Pași pentru completarea pătratului

Ecuațiile de gradul doi ca aceasta pot fi rezolvate prin completarea pătratului. Pentru a completa pătratul, ecuația trebuie mai întâi să fie sub forma x^{2}+bx=c.

$$-231x^{2}-42x+67=0$$

Scădeți 67 din ambele părți ale ecuației.

$$-231x^{2}-42x+67-67=-67$$

Scăderea 67 din el însuși are ca rezultat 0.

$$-231x^{2}-42x=-67$$

Se împart ambele părți la -231.

$$\frac{-231x^{2}-42x}{-231}=-\frac{67}{-231}$$

Împărțirea la -231 anulează înmulțirea cu -231.

$$x^{2}+\left(-\frac{42}{-231}\right)x=-\frac{67}{-231}$$

Reduceți fracția \frac{-42}{-231} la cei mai mici termeni, prin extragerea și reducerea 21.

$$x^{2}+\frac{2}{11}x=-\frac{67}{-231}$$

Împărțiți -67 la -231.

$$x^{2}+\frac{2}{11}x=\frac{67}{231}$$

Împărțiți \frac{2}{11}, coeficientul termenului x, la 2 pentru a obține \frac{1}{11}. Apoi, adunați pătratul lui \frac{1}{11} la ambele părți ale ecuației. Acest pas face din partea stângă a ecuației un pătrat perfect.

$$x^{2}+\frac{2}{11}x+\left(\frac{1}{11}\right)^{2}=\frac{67}{231}+\left(\frac{1}{11}\right)^{2}$$

Ridicați \frac{1}{11} la pătrat, calculând pătratul pentru numărătorul și numitorul fracției.

$$x^{2}+\frac{2}{11}x+\frac{1}{121}=\frac{67}{231}+\frac{1}{121}$$

Adunați \frac{67}{231} cu \frac{1}{121} găsind un numitor comun și adunând numărătorii. Apoi simplificați fracția până devine ireductibilă, dacă este posibil.

$$x^{2}+\frac{2}{11}x+\frac{1}{121}=\frac{758}{2541}$$

Factor x^{2}+\frac{2}{11}x+\frac{1}{121}. În general, atunci când x^{2}+bx+c este un pătrat perfect, el poate fi descompus în factori oricând ca \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{1}{11}\right)^{2}=\frac{758}{2541}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru ambele părți ale ecuației.

$$\sqrt{\left(x+\frac{1}{11}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{758}{2541}}$$

Simplificați.

$$x+\frac{1}{11}=\frac{\sqrt{15918}}{231} x+\frac{1}{11}=-\frac{\sqrt{15918}}{231}$$

Scădeți \frac{1}{11} din ambele părți ale ecuației.

$$x=\frac{\sqrt{15918}}{231}-\frac{1}{11} x=-\frac{\sqrt{15918}}{231}-\frac{1}{11}$$