Rezolvați -2x^2+x+1=0

$$- 2 x ^ { 2 } + x + 1 = 0$$

Rezolvați pentru x

$$x=1$$

$$x=-\frac{1}{2}=-0,5$$

Pași utilizând descompunerea în factori prin grupare

Pentru a rezolva ecuația, factor mâna stângă după grupare. Mai întâi, fața la stânga trebuie să fie rescrisă ca -2x^{2}+ax+bx+1. Pentru a găsi a și b, configurați un sistem pentru a fi rezolvat.

$$a+b=1 ab=-2=-2$$

Deoarece ab este negativ, a și b au semne opuse. Deoarece a+b este pozitiv, numărul pozitiv are o valoare absolută mai mare decât valoarea negativă. Singura astfel de pereche este soluția de sistem.

$$a=2 b=-1$$

Rescrieți -2x^{2}+x+1 ca \left(-2x^{2}+2x\right)+\left(-x+1\right).

$$\left(-2x^{2}+2x\right)+\left(-x+1\right)$$

Scoateți factorul comun 2x din -2x^{2}+2x.

$$2x\left(-x+1\right)-x+1$$

Scoateți termenul comun -x+1 prin utilizarea proprietății de distributivitate.

$$\left(-x+1\right)\left(2x+1\right)$$

Pentru a găsi soluții de ecuații, rezolvați -x+1=0 și 2x+1=0.

$$x=1 x=-\frac{1}{2}$$

Pași folosind formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea

Toate ecuațiile de forma ax^{2}+bx+c=0 pot fi rezolvate utilizând formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea oferă două soluții, una atunci când operația ± este de adunare și una atunci când este de scădere.

$$-2x^{2}+x+1=0$$

Această ecuație este în formă standard: ax^{2}+bx+c=0. Înlocuiți a cu -2, b cu 1 și c cu 1 în formula rădăcinilor ecuațiilor de gradul al doilea, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1^{2}-4\left(-2\right)}}{2\left(-2\right)}$$

Ridicați 1 la pătrat.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1-4\left(-2\right)}}{2\left(-2\right)}$$

Înmulțiți -4 cu -2.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1+8}}{2\left(-2\right)}$$

Adunați 1 cu 8.

$$x=\frac{-1±\sqrt{9}}{2\left(-2\right)}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru 9.

$$x=\frac{-1±3}{2\left(-2\right)}$$

Înmulțiți 2 cu -2.

$$x=\frac{-1±3}{-4}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{-1±3}{-4} atunci când ± este plus. Adunați -1 cu 3.

$$x=\frac{2}{-4}$$

Reduceți fracția \frac{2}{-4} la cei mai mici termeni, prin extragerea și reducerea 2.

$$x=-\frac{1}{2}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{-1±3}{-4} atunci când ± este minus. Scădeți 3 din -1.

$$x=-\frac{4}{-4}$$

Împărțiți -4 la -4.

$$x=1$$

Ecuația este rezolvată acum.

$$x=-\frac{1}{2} x=1$$

Pași pentru completarea pătratului

Ecuațiile de gradul doi ca aceasta pot fi rezolvate prin completarea pătratului. Pentru a completa pătratul, ecuația trebuie mai întâi să fie sub forma x^{2}+bx=c.

$$-2x^{2}+x+1=0$$

Scădeți 1 din ambele părți ale ecuației.

$$-2x^{2}+x+1-1=-1$$

Scăderea 1 din el însuși are ca rezultat 0.

$$-2x^{2}+x=-1$$

Se împart ambele părți la -2.

$$\frac{-2x^{2}+x}{-2}=-\frac{1}{-2}$$

Împărțirea la -2 anulează înmulțirea cu -2.

$$x^{2}+\frac{1}{-2}x=-\frac{1}{-2}$$

Împărțiți 1 la -2.

$$x^{2}-\frac{1}{2}x=-\frac{1}{-2}$$

Împărțiți -1 la -2.

$$x^{2}-\frac{1}{2}x=\frac{1}{2}$$

Împărțiți -\frac{1}{2}, coeficientul termenului x, la 2 pentru a obține -\frac{1}{4}. Apoi, adunați pătratul lui -\frac{1}{4} la ambele părți ale ecuației. Acest pas face din partea stângă a ecuației un pătrat perfect.

$$x^{2}-\frac{1}{2}x+\left(-\frac{1}{4}\right)^{2}=\frac{1}{2}+\left(-\frac{1}{4}\right)^{2}$$

Ridicați -\frac{1}{4} la pătrat, calculând pătratul pentru numărătorul și numitorul fracției.

$$x^{2}-\frac{1}{2}x+\frac{1}{16}=\frac{1}{2}+\frac{1}{16}$$

Adunați \frac{1}{2} cu \frac{1}{16} găsind un numitor comun și adunând numărătorii. Apoi simplificați fracția până devine ireductibilă, dacă este posibil.

$$x^{2}-\frac{1}{2}x+\frac{1}{16}=\frac{9}{16}$$

Factor x^{2}-\frac{1}{2}x+\frac{1}{16}. În general, atunci când x^{2}+bx+c este un pătrat perfect, el poate fi descompus în factori oricând ca \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{1}{4}\right)^{2}=\frac{9}{16}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru ambele părți ale ecuației.

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{9}{16}}$$

Simplificați.

$$x-\frac{1}{4}=\frac{3}{4} x-\frac{1}{4}=-\frac{3}{4}$$

Adunați \frac{1}{4} la ambele părți ale ecuației.

$$x=1 x=-\frac{1}{2}$$