Rezolvați -2x^2+6x+16=-4

$$- 2 x ^ { 2 } + 6 x + 16 = - 4$$

Rezolvați pentru x

$$x=-2$$

$$x=5$$

Pași utilizând descompunerea în factori prin grupare

Adăugați 4 la ambele părți.

$$-2x^{2}+6x+16+4=0$$

Adunați 16 și 4 pentru a obține 20.

$$-2x^{2}+6x+20=0$$

Se împart ambele părți la 2.

$$-x^{2}+3x+10=0$$

Pentru a rezolva ecuația, factor mâna stângă după grupare. Mai întâi, fața la stânga trebuie să fie rescrisă ca -x^{2}+ax+bx+10. Pentru a găsi a și b, configurați un sistem pentru a fi rezolvat.

$$a+b=3 ab=-10=-10$$

Deoarece ab este negativ, a și b au semne opuse. Deoarece a+b este pozitiv, numărul pozitiv are o valoare absolută mai mare decât valoarea negativă. Listează toate perechi de valori întregi care oferă produse -10.

$$-1,10 -2,5$$

Calculați suma pentru fiecare pereche.

$$-1+10=9 -2+5=3$$

Soluția este perechea care dă suma de 3.

$$a=5 b=-2$$

Rescrieți -x^{2}+3x+10 ca \left(-x^{2}+5x\right)+\left(-2x+10\right).

$$\left(-x^{2}+5x\right)+\left(-2x+10\right)$$

Factor -x în primul și -2 în al doilea grup.

$$-x\left(x-5\right)-2\left(x-5\right)$$

Scoateți termenul comun x-5 prin utilizarea proprietății de distributivitate.

$$\left(x-5\right)\left(-x-2\right)$$

Pentru a găsi soluții de ecuații, rezolvați x-5=0 și -x-2=0.

$$x=5 x=-2$$

Pași folosind formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea

Toate ecuațiile de forma ax^{2}+bx+c=0 pot fi rezolvate utilizând formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea oferă două soluții, una atunci când operația ± este de adunare și una atunci când este de scădere.

$$-2x^{2}+6x+16=-4$$

Adunați 4 la ambele părți ale ecuației.

$$-2x^{2}+6x+16-\left(-4\right)=-4-\left(-4\right)$$

Scăderea -4 din el însuși are ca rezultat 0.

$$-2x^{2}+6x+16-\left(-4\right)=0$$

Scădeți -4 din 16.

$$-2x^{2}+6x+20=0$$

Această ecuație este în formă standard: ax^{2}+bx+c=0. Înlocuiți a cu -2, b cu 6 și c cu 20 în formula rădăcinilor ecuațiilor de gradul al doilea, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-6±\sqrt{6^{2}-4\left(-2\right)\times 20}}{2\left(-2\right)}$$

Ridicați 6 la pătrat.

$$x=\frac{-6±\sqrt{36-4\left(-2\right)\times 20}}{2\left(-2\right)}$$

Înmulțiți -4 cu -2.

$$x=\frac{-6±\sqrt{36+8\times 20}}{2\left(-2\right)}$$

Înmulțiți 8 cu 20.

$$x=\frac{-6±\sqrt{36+160}}{2\left(-2\right)}$$

Adunați 36 cu 160.

$$x=\frac{-6±\sqrt{196}}{2\left(-2\right)}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru 196.

$$x=\frac{-6±14}{2\left(-2\right)}$$

Înmulțiți 2 cu -2.

$$x=\frac{-6±14}{-4}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{-6±14}{-4} atunci când ± este plus. Adunați -6 cu 14.

$$x=\frac{8}{-4}$$

Împărțiți 8 la -4.

$$x=-2$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{-6±14}{-4} atunci când ± este minus. Scădeți 14 din -6.

$$x=-\frac{20}{-4}$$

Împărțiți -20 la -4.

$$x=5$$

Ecuația este rezolvată acum.

$$x=-2 x=5$$

Pași pentru completarea pătratului

Ecuațiile de gradul doi ca aceasta pot fi rezolvate prin completarea pătratului. Pentru a completa pătratul, ecuația trebuie mai întâi să fie sub forma x^{2}+bx=c.

$$-2x^{2}+6x+16=-4$$

Scădeți 16 din ambele părți ale ecuației.

$$-2x^{2}+6x+16-16=-4-16$$

Scăderea 16 din el însuși are ca rezultat 0.

$$-2x^{2}+6x=-4-16$$

Scădeți 16 din -4.

$$-2x^{2}+6x=-20$$

Se împart ambele părți la -2.

$$\frac{-2x^{2}+6x}{-2}=-\frac{20}{-2}$$

Împărțirea la -2 anulează înmulțirea cu -2.

$$x^{2}+\frac{6}{-2}x=-\frac{20}{-2}$$

Împărțiți 6 la -2.

$$x^{2}-3x=-\frac{20}{-2}$$

Împărțiți -20 la -2.

$$x^{2}-3x=10$$

Împărțiți -3, coeficientul termenului x, la 2 pentru a obține -\frac{3}{2}. Apoi, adunați pătratul lui -\frac{3}{2} la ambele părți ale ecuației. Acest pas face din partea stângă a ecuației un pătrat perfect.

$$x^{2}-3x+\left(-\frac{3}{2}\right)^{2}=10+\left(-\frac{3}{2}\right)^{2}$$

Ridicați -\frac{3}{2} la pătrat, calculând pătratul pentru numărătorul și numitorul fracției.

$$x^{2}-3x+\frac{9}{4}=10+\frac{9}{4}$$

Adunați 10 cu \frac{9}{4}.

$$x^{2}-3x+\frac{9}{4}=\frac{49}{4}$$

Factor x^{2}-3x+\frac{9}{4}. În general, atunci când x^{2}+bx+c este un pătrat perfect, el poate fi descompus în factori oricând ca \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{3}{2}\right)^{2}=\frac{49}{4}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru ambele părți ale ecuației.

$$\sqrt{\left(x-\frac{3}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{49}{4}}$$

Simplificați.

$$x-\frac{3}{2}=\frac{7}{2} x-\frac{3}{2}=-\frac{7}{2}$$

Adunați \frac{3}{2} la ambele părți ale ecuației.

$$x=5 x=-2$$