Rezolvați -2x^2+5x+5=0

$$- 2 x ^ { 2 } + 5 x + 5 = 0$$

Rezolvați pentru x

$$x = \frac{\sqrt{65} + 5}{4} \approx 3,265564437$$

$$x=\frac{5-\sqrt{65}}{4}\approx -0,765564437$$

Pași folosind formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea

Toate ecuațiile de forma ax^{2}+bx+c=0 pot fi rezolvate utilizând formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea oferă două soluții, una atunci când operația ± este de adunare și una atunci când este de scădere.

$$-2x^{2}+5x+5=0$$

Această ecuație este în formă standard: ax^{2}+bx+c=0. Înlocuiți a cu -2, b cu 5 și c cu 5 în formula rădăcinilor ecuațiilor de gradul al doilea, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-5±\sqrt{5^{2}-4\left(-2\right)\times 5}}{2\left(-2\right)}$$

Ridicați 5 la pătrat.

$$x=\frac{-5±\sqrt{25-4\left(-2\right)\times 5}}{2\left(-2\right)}$$

Înmulțiți -4 cu -2.

$$x=\frac{-5±\sqrt{25+8\times 5}}{2\left(-2\right)}$$

Înmulțiți 8 cu 5.

$$x=\frac{-5±\sqrt{25+40}}{2\left(-2\right)}$$

Adunați 25 cu 40.

$$x=\frac{-5±\sqrt{65}}{2\left(-2\right)}$$

Înmulțiți 2 cu -2.

$$x=\frac{-5±\sqrt{65}}{-4}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{-5±\sqrt{65}}{-4} atunci când ± este plus. Adunați -5 cu \sqrt{65}.

$$x=\frac{\sqrt{65}-5}{-4}$$

Împărțiți -5+\sqrt{65} la -4.

$$x=\frac{5-\sqrt{65}}{4}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{-5±\sqrt{65}}{-4} atunci când ± este minus. Scădeți \sqrt{65} din -5.

$$x=\frac{-\sqrt{65}-5}{-4}$$

Împărțiți -5-\sqrt{65} la -4.

$$x=\frac{\sqrt{65}+5}{4}$$

Ecuația este rezolvată acum.

$$x=\frac{5-\sqrt{65}}{4} x=\frac{\sqrt{65}+5}{4}$$

Pași pentru completarea pătratului

Ecuațiile de gradul doi ca aceasta pot fi rezolvate prin completarea pătratului. Pentru a completa pătratul, ecuația trebuie mai întâi să fie sub forma x^{2}+bx=c.

$$-2x^{2}+5x+5=0$$

Scădeți 5 din ambele părți ale ecuației.

$$-2x^{2}+5x+5-5=-5$$

Scăderea 5 din el însuși are ca rezultat 0.

$$-2x^{2}+5x=-5$$

Se împart ambele părți la -2.

$$\frac{-2x^{2}+5x}{-2}=-\frac{5}{-2}$$

Împărțirea la -2 anulează înmulțirea cu -2.

$$x^{2}+\frac{5}{-2}x=-\frac{5}{-2}$$

Împărțiți 5 la -2.

$$x^{2}-\frac{5}{2}x=-\frac{5}{-2}$$

Împărțiți -5 la -2.

$$x^{2}-\frac{5}{2}x=\frac{5}{2}$$

Împărțiți -\frac{5}{2}, coeficientul termenului x, la 2 pentru a obține -\frac{5}{4}. Apoi, adunați pătratul lui -\frac{5}{4} la ambele părți ale ecuației. Acest pas face din partea stângă a ecuației un pătrat perfect.

$$x^{2}-\frac{5}{2}x+\left(-\frac{5}{4}\right)^{2}=\frac{5}{2}+\left(-\frac{5}{4}\right)^{2}$$

Ridicați -\frac{5}{4} la pătrat, calculând pătratul pentru numărătorul și numitorul fracției.

$$x^{2}-\frac{5}{2}x+\frac{25}{16}=\frac{5}{2}+\frac{25}{16}$$

Adunați \frac{5}{2} cu \frac{25}{16} găsind un numitor comun și adunând numărătorii. Apoi simplificați fracția până devine ireductibilă, dacă este posibil.

$$x^{2}-\frac{5}{2}x+\frac{25}{16}=\frac{65}{16}$$

Factor x^{2}-\frac{5}{2}x+\frac{25}{16}. În general, atunci când x^{2}+bx+c este un pătrat perfect, el poate fi descompus în factori oricând ca \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{5}{4}\right)^{2}=\frac{65}{16}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru ambele părți ale ecuației.

$$\sqrt{\left(x-\frac{5}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{65}{16}}$$

Simplificați.

$$x-\frac{5}{4}=\frac{\sqrt{65}}{4} x-\frac{5}{4}=-\frac{\sqrt{65}}{4}$$

Adunați \frac{5}{4} la ambele părți ale ecuației.

$$x=\frac{\sqrt{65}+5}{4} x=\frac{5-\sqrt{65}}{4}$$