Rezolvați -2x^2+32x-126=0

$$- 2 x ^ { 2 } + 32 x - 126 = 0$$

Rezolvați pentru x

$$x=7$$

$$x=9$$

Pași utilizând descompunerea în factori prin grupare

Se împart ambele părți la 2.

$$-x^{2}+16x-63=0$$

Pentru a rezolva ecuația, factor mâna stângă după grupare. Mai întâi, fața la stânga trebuie să fie rescrisă ca -x^{2}+ax+bx-63. Pentru a găsi a și b, configurați un sistem pentru a fi rezolvat.

$$a+b=16 ab=-\left(-63\right)=63$$

Deoarece ab este pozitiv, a și b au același semn. Deoarece a+b este pozitiv, a și b sunt ambele pozitive. Listează toate perechi de valori întregi care oferă produse 63.

$$1,63 3,21 7,9$$

Calculați suma pentru fiecare pereche.

$$1+63=64 3+21=24 7+9=16$$

Soluția este perechea care dă suma de 16.

$$a=9 b=7$$

Rescrieți -x^{2}+16x-63 ca \left(-x^{2}+9x\right)+\left(7x-63\right).

$$\left(-x^{2}+9x\right)+\left(7x-63\right)$$

Factor -x în primul și 7 în al doilea grup.

$$-x\left(x-9\right)+7\left(x-9\right)$$

Scoateți termenul comun x-9 prin utilizarea proprietății de distributivitate.

$$\left(x-9\right)\left(-x+7\right)$$

Pentru a găsi soluții de ecuații, rezolvați x-9=0 și -x+7=0.

$$x=9 x=7$$

Pași folosind formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea

Toate ecuațiile de forma ax^{2}+bx+c=0 pot fi rezolvate utilizând formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea oferă două soluții, una atunci când operația ± este de adunare și una atunci când este de scădere.

$$-2x^{2}+32x-126=0$$

Această ecuație este în formă standard: ax^{2}+bx+c=0. Înlocuiți a cu -2, b cu 32 și c cu -126 în formula rădăcinilor ecuațiilor de gradul al doilea, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-32±\sqrt{32^{2}-4\left(-2\right)\left(-126\right)}}{2\left(-2\right)}$$

Ridicați 32 la pătrat.

$$x=\frac{-32±\sqrt{1024-4\left(-2\right)\left(-126\right)}}{2\left(-2\right)}$$

Înmulțiți -4 cu -2.

$$x=\frac{-32±\sqrt{1024+8\left(-126\right)}}{2\left(-2\right)}$$

Înmulțiți 8 cu -126.

$$x=\frac{-32±\sqrt{1024-1008}}{2\left(-2\right)}$$

Adunați 1024 cu -1008.

$$x=\frac{-32±\sqrt{16}}{2\left(-2\right)}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru 16.

$$x=\frac{-32±4}{2\left(-2\right)}$$

Înmulțiți 2 cu -2.

$$x=\frac{-32±4}{-4}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{-32±4}{-4} atunci când ± este plus. Adunați -32 cu 4.

$$x=-\frac{28}{-4}$$

Împărțiți -28 la -4.

$$x=7$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{-32±4}{-4} atunci când ± este minus. Scădeți 4 din -32.

$$x=-\frac{36}{-4}$$

Împărțiți -36 la -4.

$$x=9$$

Ecuația este rezolvată acum.

$$x=7 x=9$$

Pași pentru completarea pătratului

Ecuațiile de gradul doi ca aceasta pot fi rezolvate prin completarea pătratului. Pentru a completa pătratul, ecuația trebuie mai întâi să fie sub forma x^{2}+bx=c.

$$-2x^{2}+32x-126=0$$

Adunați 126 la ambele părți ale ecuației.

$$-2x^{2}+32x-126-\left(-126\right)=-\left(-126\right)$$

Scăderea -126 din el însuși are ca rezultat 0.

$$-2x^{2}+32x=-\left(-126\right)$$

Scădeți -126 din 0.

$$-2x^{2}+32x=126$$

Se împart ambele părți la -2.

$$\frac{-2x^{2}+32x}{-2}=\frac{126}{-2}$$

Împărțirea la -2 anulează înmulțirea cu -2.

$$x^{2}+\frac{32}{-2}x=\frac{126}{-2}$$

Împărțiți 32 la -2.

$$x^{2}-16x=\frac{126}{-2}$$

Împărțiți 126 la -2.

$$x^{2}-16x=-63$$

Împărțiți -16, coeficientul termenului x, la 2 pentru a obține -8. Apoi, adunați pătratul lui -8 la ambele părți ale ecuației. Acest pas face din partea stângă a ecuației un pătrat perfect.

$$x^{2}-16x+\left(-8\right)^{2}=-63+\left(-8\right)^{2}$$

Ridicați -8 la pătrat.

$$x^{2}-16x+64=-63+64$$

Adunați -63 cu 64.

$$x^{2}-16x+64=1$$

Factor x^{2}-16x+64. În general, atunci când x^{2}+bx+c este un pătrat perfect, el poate fi descompus în factori oricând ca \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-8\right)^{2}=1$$

Aflați rădăcina pătrată pentru ambele părți ale ecuației.

$$\sqrt{\left(x-8\right)^{2}}=\sqrt{1}$$

Simplificați.

$$x-8=1 x-8=-1$$

Adunați 8 la ambele părți ale ecuației.

$$x=9 x=7$$